[論文レビュー] Complex Geometry of Matrix Models

Leonid Chekhov, A. Marshakov+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2005

Matrix Theory and Algorithms参考文献 4被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、1行列モデルの多支持解と準古典的 Whitham 高階系、および N=1 SUSY ゲージ理論の間の幾何的枠組みを確立する。平面的自由エネルギーが Seiberg–Witten 的な理論の前処理関数に等しいことを証明し、これらの解の準古典的 τ 関数が WDVV 方程式を満たすことを示し、't Hooft 展開の次善の項において、Bergmann の双正則微分と行列式恒等式を用いて明示的な関係を導出する。

ABSTRACT

The paper contains some new results and a review of recent achievements, concerning the multisupport solutions to matrix models. In the leading order of the 't Hooft expansion for matrix integral, these solutions are described by quasiclassical or generalized Whitham hierarchies and are directly related to the superpotentials of four-dimensional N=1 SUSY gauge theories. We study the derivatives of tau-functions for these solutions, associated with the families of Riemann surfaces (with possible double points), and relations for these derivatives imposed by complex geometry, including the WDVV equations. We also find the free energy in subleading order of the 't Hooft expansion and prove that it satisfies certain determinant relations.

研究の動機と目的

• 多支持行列モデル解と準古典的 Whitham 高階系の間の幾何的対応を確立すること。
• 1行列モデルの平面的自由エネルギーを N=1 SUSY ゲージ理論の前処理関数に結びつけること。
• 一般の多支持解の文脈において、準古典的 τ 関数の WDVV 方程式の導出および妥当性の証明。
• 次善の（トポロジカルな1次元の）自由エネルギー F1 の計算とその行列式構造の同定。
• 複素幾何学とリーマン面のモジュライを用いて、F1 のトポロジカル B モデルの仮説を任意のカット数に一般化すること。

提案手法

• 多支持解を一般化された Whitham 高階系の解として記述するため、準古典的 τ 関数形式を用いる。
• アーベル微分と Bergmann の双正則微分を用いて、自由エネルギーの2階微分を計算する。
• 留数公式と正則微分の結合的性質を用いて、充填分数を含む全 Whitham 時間の WDVV 方程式を証明する。
• Vandermonde 行列式と遷移行列 σ を含む行列式恒等式を用いて、1次元自由エネルギー F1 を導出する。
• Dijkgraaf–Vafa の提案を一般化し、複素化されたカット長と正準変数を用いて、n カット解へのトポロジカル B モデルの仮説 F1 を拡張する。
• 分岐点の線形直交変換を用いて µ±_j を定義し、既知の2カット結果が特殊ケースとして再現される行列式関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多支持行列モデル解の準古典的 τ 関数は、任意のカット数と充填分数に対して WDVV 方程式を満たすか？
• RQ2 1行列モデルの1次元自由エネルギー F1 は、遷移行列 σ と Vandermonde 行列式を含む行列式として表現可能か？
• RQ3 固有値支持の充填分数（占有数）は、小位相空間における Whitham 時間と幾何的にどのように関係するか？
• RQ4 2カットの場合のトポロジカル B モデルの仮説 F1 は、リーマン面の複素幾何を用いて n カット解へ一般化可能か？
• RQ5 自由エネルギーの行列式構造と、それらの背後にあるリーマン面族のモジュライの正確な関係は何か？

主な発見

• 1行列モデルの平面的自由エネルギーは、Seiberg–Witten 的な理論の前処理関数に一致し、N=1 SUSY ゲージ理論への直接的な接続を確立する。
• 多支持解の準古典的 τ 関数は、充填分数を含むすべての Whitham 時間に対して WDVV 方程式を満たし、可積分性およびトポロジカル弦的構造の確認がなされる。
• 1次元自由エネルギー F1 は、遷移行列 σ と Vandermonde 行列式を含む行列式の対数に比例することが示され、行列式展開におけるべき乗が正確に一致する。
• 分岐点を µ±_j に変換し、補助的点集合を含む新しい行列式恒等式を用いることで、F1 の2カット結果の一般化が n カット解へ可能になる。
• F1 の行列式構造はモジュライの再パrametrizationに対して安定であり、2カット結果と一致し、複素化されたカット長と正準変数による F1 の仮説の妥当性が裏付けられる。
• 臨界点とリーマン面の幾何学に基づく数え上げ的議論により、WDVV 方程式の留数公式における結合的条件が、他の系で違反される可能性があるにもかかわらず、本文の文脈では成立することが証明される。