[論文レビュー] Complex Monge-Ampere equations and totally real submanifolds

Bo Guan, Qun Li|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、境界を持つ一般の（非擬凸性を有する）Hermitian多様体上における複素Monge-Ampère方程式のDirichlet問題の可解性を確立し、古典的結果をより広い幾何的設定へと拡張する。主な貢献は、下位解条件の下での解の一般存在定理であり、DonaldsonのKähler計量空間内の測地線に関する予想への応用および、同次複素Monge-Ampère方程式を用いた全実部分多様体の特徴付けに繋がる。

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem for complex Monge-Ampere equations in Hermitian manifolds with general (non-pseudoconvex) boundary. Our main result extends the classical theorem of Caffarelli, Kohn, Nirenberg and Spruck in the flat case. We also consider the equation on compact manifolds without boundary, attempting to generalize Yau's theorems in the Kaehler case. As applications of the main result we study some connections between the homogeneous complex Monge-Ampere ({\em HCMA}) equation and totally real submanifolds, and a special Dirichlet problem for the HCMA equation related to Donaldson's conjecture on geodesics in the space of Kaehler metrics.

研究の動機と目的

• 強擬凸領域を超えて、境界を持つ一般のHermitian多様体へ、複素Monge-Ampère方程式の古典的可解理論を拡張すること。
• コンpact Kähler多様体上におけるYauの複素Monge-Ampère方程式存在定理をHermitian設定に一般化すること。
• 同次複素Monge-Ampère方程式の解を用いて、全実部分多様体を特徴付けること。
• HCMA方程式の特別なDirichlet問題を通じて、Kähler計量空間内における測地線に関するDonaldsonの予想を取り扱うこと。

提案手法

• 下位解条件を用いて、境界を持つHermitian多様体上における複素Monge-Ampère方程式の一般存在定理を確立する。
• 可縮性理論および楕円型PDE技法を用いて、特に同次複素Monge-Ampère（HCMA）方程式のような退化方程式を扱う。
• Kähler計量空間内での測地線問題を、$M \times A$（$A$ はアニュラス）という高次元複素多様体に持ち上げることで、測地線方程式をHCMA方程式に再定式化する。
• Hermitian計量空間上の$L^2$リーマン計量を用いて測地線を定義し、対応するMonge-Ampère方程式を導出する。
• 複素ヘッセ行列の正定性を保証するため、$\underline{\varphi} = (1-t)\varphi_0 + t\varphi_1 + K(t^2 - t)$ の形の厳密な下位解を構成する。
• 主な存在定理を適用して、$M \times A$ 上におけるHCMA方程式の弱解の存在を証明する。ここで $\varphi \in C^{1,\alpha}$ かつ $\Delta\varphi \in L^\infty$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を持つ一般の（非擬凸性を有する）Hermitian多様体上における複素Monge-Ampère方程式のDirichlet問題は解けるか？
• RQ2 同次複素Monge-Ampère方程式は、どのようにして全実部分多様体を特徴付けるか？
• RQ3 Kähler計量空間内における滑らかな測地線の存在に関するDonaldsonの予想は、Hermitian設定でも成立するか？
• RQ4 Hermitian多様体上の測地線計量の文脈において、HCMA方程式の解の正則性はどの程度達成可能か？

主な発見

• 任意のコンパクトな境界付きHermitian多様体上では、$C^4$の下位解が不等式および境界条件を満たす限り、複素Monge-Ampère方程式のDirichlet問題は滑らかな解をもつ。
• 初期データが$C^4$であると仮定すると、$M \times A$ 上におけるHCMA方程式の解は、任意の $0 < \alpha < 1$ に対して弱い$C^{1,\alpha}$類に属し、$ \Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$ である。
• 基底多様体の双曲的曲率が非負であれば、解は$C^{1,1}(M \times A)$に属し、解の正則性が向上する。
• 測地線問題の解は一意的であり、回転対称性を持つ。これは、解が時間変数$t$にのみ依存し、角度変数$s$には依存しないことを確認する。
• $M \times A$ 上におけるHCMA方程式の弱解の存在は、Hermitian計量空間内に測地線が存在することを示し、Donaldsonの予想をHermitianの場合にまで拡張する。
• 解の幾何的構造とヘッセ行列の性質を用いて、HCMA方程式の解による全実部分多様体の特徴付けが確立される。