[論文レビュー] Computation of Optimal Control Problems with Terminal Constraint via Modified Evolution Partial Differential Equation

Sheng Zhang, Kaifeng He+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、終端制約を伴う最適制御問題を解くために、無効解が有限時間で可解性に収束可能であるようにする修正進化偏微分方程式（MEPDE）を提案する。1階安定ダイナミクスとリャプノフ汎関数を組み込むことで、非活性な終端不等式制約が効率的に可解領域に進入することが保証され、有限次元のODEソルバを用いた半離散化により解が計算可能になる。

ABSTRACT

The Variation Evolving Method (VEM), which seeks the optimal solutions with the variation evolution principle, is further developed to be more flexible in solving the Optimal Control Problems (OCPs) with terminal constraint. With the first-order stable dynamics to eliminate the infeasibilities, the Modified Evolution Partial Differential Equation (MEPDE) that is valid in the infeasible solution domain is proposed, and a Lyapunov functional is constructed to theoretically ensure its validity. In particular, it is proved that even with the infinite-time convergence dynamics, the violated terminal inequality constraints, which are inactive for the optimal solution, will enter the feasible domain in finite time. Through transforming the MEPDE to the finite-dimensional Initial-value Problem (IVP) with the semi-discrete method, the OCPs may be solved with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods. Illustrative examples are presented to show the effectiveness of the proposed method.

研究の動機と目的

• 終端制約を伴う最適制御問題（OCPs）を解く課題に取り組み、特に初期解が非可解である場合に有効であることを目的とする。
• 最適解において非活性である終端不等式制約を処理する際に、従来の変化進化法（VEM）に見られる制限を克服することを目的とする。
• 事前の可解性を必要とせず、非可解解領域で動作する、数値的に安定的かつ柔軟なフレームワークを構築することを目的とする。
• 無限時間ダイナミクスであっても、終端制約の理論的収束保証を確保することを目的とする。
• MEPDEの半離散化により、標準的なODEソルバを用いた実用的計算を可能とすることを目的とする。

提案手法

• 非可解領域で動作する修正進化偏微分方程式（MEPDE）を提案し、可解性への進化を可能にする。
• 1階安定ダイナミクスを導入し、特に終端制約に対して非可解解を可解性へと駆り立てる。
• リャプノフ汎関数を構築し、MEPDEシステムの安定性および収束性を数学的に証明する。
• 非活性な終端不等式制約が、無限時間収束ダイナミクスであっても有限時間内に可解領域に進入することを示す。
• MEPDEを半離散化して、標準的なODE積分法で解ける有限次元初期値問題（IVP）に変換する。
• 一般的なODEソルバ（例：ルンゲ・クッタ法）を活用し、得られたIVPの数値解を計算することで、計算の実行可能性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適制御問題における非可解初期解を扱えるように、偏微分方程式フレームワークを設計できるか？
• RQ2 最適解において非活性である終端不等式制約を、有限時間内に可解性へと駆り立てる方法は何か？
• RQ3 無限時間ダイナミクスであっても、MEPDEシステムの収束を保証するリャプノフに基づく安定性条件は何か？
• RQ4 MEPDEをどの程度半離散化できるか。標準的なODEソルバを用いた最適制御計算を可能とするか？
• RQ5 提案手法は、制約付きOCPsにおける従来のVEMベース手法と比較して、性能および頑健性においてどの程度優れているか？

主な発見

• MEPDEは、無限時間収束ダイナミクスを用いても、違反している終端不等式制約が有限時間内に可解領域に進入することを保証する。
• リャプノフ汎関数の構築により、修正進化システムの安定性および収束性に対する理論的保証が得られる。
• MEPDEの半離散化により、問題が標準的なIVPに変換され、広く利用可能なODE数値積分法で解けるようになる。
• 具体的な例題により、初期に非可解である終端制約を効果的に処理できることが示された。
• 事前の可解性を必要とせず、非可解領域で直接動作させることで、柔軟性と頑健性を維持する。
• 標準的な数値ソルバとの互換性と理論的収束保証の両方が得られるため、実装への強い可能性を示している。