[論文レビュー] Computing energy density in one dimension

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Quantum many-body systems参考文献 18被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、Rényi量子もつれエントロピーの面積則またはスペクトルギャップの下で、1次元量子系におけるエネルギー密度を厳密に計算するアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、系のサイズに依存しないサブ指数的精度スケーリングを達成し、有界な結合次元を持つ行列積演算子（MPO）を用いた、サイトあたりの基底状態エネルギーの効率的近似を可能にする。

ABSTRACT

We study the problem of computing energy density in one-dimensional quantum systems. We show that the ground-state energy per site or per bond can be computed in time (i) independent of the system size and subexponential in the desired precision if the ground state satisfies area laws for the Renyi entanglement entropy (this is the first rigorous formulation of the folklore that area laws imply efficient matrix-product-state algorithms); (ii) independent of the system size and polynomial in the desired precision if the system is gapped. As a by-product, we prove that in the presence of area laws (or even an energy gap) the ground state can be approximated by a positive semidefinite matrix product operator of bond dimension independent of the system size and subpolynomial in the desired precision of local properties.

研究の動機と目的

• 面積則が1次元量子系における行列積状態（MPS）アルゴリズムの効率性を示すという、広く知られた事実を厳密に定式化すること。
• 系のサイズに依存しない精度δで、サイトまたは結合あたりの基底状態エネルギー密度を計算する手法を開発すること。
• 面積則を満たす基底状態が、精度に比べて多項式的でない（サブ多項式的）結合次元で正定値行列積演算子（MPO）によって近似可能であることを証明すること。
• もつれの面積則およびスペクトルギャップの下で、エネルギー密度推定の計算複雑度の上限を確立すること。
• MPSの効率性のための厳密な基礎を提供することで、理論的量子ハミルトニアン複雑度と実用的数値手法（例：DMRG）を橋渡しすること。

提案手法

• エネルギー密度の統計的推定にチャーノフ不等式を適用できるように、1次元鎖をO(1/δ)のサイズのブロックに分割する。
• 高確率でサイトあたりの平均エネルギーを推定するために、ランダムに抽出されたブロック上で正確な対角化を実行する。
• Lieb-Robinson境界と時-order付き指数近似を用いて、局所的時間発展演算子を誤差有界でシミュレートする。
• 局所的ハミルトニアンの切断および離散化された積分を用いて、時間発展演算子のMPO近似を構築する。
• 正規化形式変換と特異値分解を用いて、結合次元が有界な効率的MPS表現を保証する。
• 切断誤差、離散化誤差、近似誤差の誤差解析を組み合わせ、総誤差をδ以内に制限し、結合次元が1/δに対してサブ多項式的にスケーリングされることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子系における基底状態エネルギー密度は、Rényiもつれエントロピーの面積則の下で、効率的に計算可能か？
• RQ2 ハミルトニアンにギャップがある場合、系のサイズに依存しない多項式時間アルゴリズムでエネルギー密度推定が可能か？
• RQ3 面積則を満たす基底状態は、系のサイズに依存せず、精度に対してサブ多項式的結合次元のMPOで近似可能か？
• RQ4 面積則またはスペクトルギャップを満たす1次元系において、エネルギー密度を精度δで推定する計算複雑度は何か？
• RQ5 面積則またはギャップの存在が、行列積状態表現およびエネルギー計算の効率性に与える影響は何か？

主な発見

• 基底状態がRényiもつれエントロピーの面積則を満たす場合、エネルギー密度は系のサイズに依存せず、1/δに対してサブ指数的スケーリングで精度δで計算可能である。
• 系がギャップを持つ場合、エネルギー密度は系のサイズに依存せず、1/δに対して多項式的スケーリングで計算可能である。
• 基底状態は、系のサイズに依存せず、1/δに対してサブ多項式的スケーリングで結合次元を有する正定値MPOによって近似可能である。
• MPO近似の結合次元は、(1/δ)^O(1 + √(log(1/η)/log(1/δ))/ε) とスケーリングされ、固定されたεに対して1/δに対してサブ多項式的である。
• 確率0.999以上で、δ以内の誤差境界を達成する。これは、確率的サンプリングとチャーノフ型集中不等式を用いることで実現される。
• MPO成分の構築は効率的であり、各成分に対して多項式時間（poly(D)）で実行可能であり、Dは結合次元を表す。