[論文レビュー] Cone theorem and Mori hyperbolicity

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、準ログスキームのための錐定理を確立し、Svaldiの問いに答え、モーリー特異的で、特異的でない正規対の対数正則特異点の除法が、非特異的特異点上でネフであるならば、その対数正則特異点の除法がネフであることを証明する。最小モデルプログラムと混合ホッジ理論の高度な技術を用いて、非特異的特異点に含まれる有理曲線の存在が、対数正則特異点の除法のネフ性を特徴付けることを示し、さらに相対準ログファノスキームのファイバーが非準ログ特異点の除法を除いて有理的チェーン接続的であることを証明する。

ABSTRACT

We discuss the cone theorem for quasi-log schemes and the Mori hyperbolicity. In particular, we establish that the log canonical divisor of a Mori hyperbolic projective normal pair is nef if it is nef when restricted to the non-lc locus. This answers Svaldi's question completely. We also treat the uniruledness of the degenerate locus of an extremal contraction morphism for quasi-log schemes. Furthermore, we prove that every fiber of a relative quasi-log Fano scheme is rationally chain connected modulo the non-qlc locus.

研究の動機と目的

• モーリー特異的性の文脈において、準ログスキームのための錐定理を確立すること。
• モーリー特異的対における対数正則特異点の除法のネフ性に関するSvaldiの問いを解決すること。
• 相対準ログファノスキームのファイバーが非準ログ特異点の除法を除いて有理的チェーン接続的であることを証明すること。
• 付随と最小モデルプログラムの技術を用いて、極小モデルプログラムと有理曲線の理論を準ログスキームへと拡張すること。

提案手法

• 特に非特異的特異点と非準ログ特異点に注目した、準ログスキームおよびその特異点の理論を用いる。
• スケーリングを伴う最小モデルプログラムと、[H1]および[BCHM]によるdlt対の終了結果を適用する。
• フリップおよび除法的収縮の間で交差数を比較するために、否定性補題を用いる。
• 湾曲と折り返しの技法と、非特異的特異点における有理曲線の存在を用いて、𝔸¹からへの非定値準同型を構成する。
• 付随と部分付随を用いて、周囲の対の幾何とlc層の幾何とを関連付ける。
• Hironakaの特異点の解消と、複素数体上でのKodaira型の消滅定理に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーリー特異的正規対の対数正則特異点の除法が、どのような条件下でネフであるか。
• RQ2 非滑らかかつ非dltの場合を含め、一般に準ログスキームのための錐定理を確立できるか。
• RQ3 相対準ログファノスキームのファイバーの構造は、特に非準ログ特異点の除法を除いてどうなっているか。
• RQ4 Kleiman–Mori錐内の極小射が、非特異的特異点における有理曲線とどのように関係しているか。
• RQ5 非特異的特異点における有理曲線の存在が、対数正則特異点の除法のネフ性を特徴付けることができるか。

主な発見

• モーリー特異的で、特異的でない正規対の対数正則特異点の除法が、非特異的特異点上でネフであれば、完全にSvaldiの問いに答えられる。
• 相対準ログファノスキームの各ファイバーは、非準ログ特異点の除法を除いて有理的チェーン接続的であり、既知の有理的接続性の結果を一般化する。
• 各(K_X + Δ)-負の極小射が有理的で、無限遠点で相対的にアーマーであるとき、f: 𝔸¹ → U_j なる非定値準同型が存在し、f(𝔸¹)の閉包がその射を張る。ここでU_jは開lc層である。
• 正規対のための錐定理が準ログスキームへ一般化され、Kleiman–Mori錐がネフ、負の無限大、有理的極小射の成分に分解される。
• 非特異的特異点における有理曲線の存在は、対数正則特異点の除法の非ネフ性と同値であり、幾何的特徴付けを提供する。
• 証明は最小モデルプログラムと付随に依拠しており、適切な仮定の下で[H1]および[BCHM]により終了が保証される。