[論文レビュー] Conjugacy and cocycle conjugacy of automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ are not Borel

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Cuntz代数 $\mathcal{O}_2$ の自己同型の同型関係およびコサイクル同型関係が完全な解析的集合であることを確立しており、したがってボレルでない。これは、これらの分類問題が、ボレル同型関係を持つ任意の可算構造のクラスを分類する問題よりも厳密に複雑であることを示している。この結果は、固定された有限位数の自己同型に対しても成り立ち、$K_1$-群が自明で、ユニバーサル係数定理を満たすキルバーグ代数へと拡張可能である。

ABSTRACT

The group of automorphisms of the Cuntz algebra $\mathcal{O}_{2}$ is a Polish group with respect to the topology of pointwise convergence in norm. Our main result is that the relations of conjugacy and cocycle conjugacy of automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ are complete analytic sets and, in particular, not Borel. Moreover, we show that from the point of view of Borel complexity theory, classifying automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ up to conjugacy or cocycle conjugacy is strictly more difficult than classifying up to isomorphism any class of countable structures with Borel isomorphism relation. In fact the same conclusions hold even if one only considers automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ of a fixed finite order. In the course of the proof we will show that the relation of isomorphism of Kichberg algebras (with trivial $K_{1}$-group and satisfying the Universal Coefficient Theorem) is a complete anaytic set. Moreover, it is strictly more difficult to classify Kirchberg algebras (with trivial $K_{1}$-group and satisfying the Universal Coefficient Theorem) than classifying up to isomorphism any class of countable structures with Borel isomorphism relation.

研究の動機と目的

• Cuntz代数 $\mathcal{O}_2$ の自己同型の同型関係およびコサイクル同型関係のボレル複雑度を特定すること。
• これらの関係が可算構造のクラスによる分類可能かどうか、あるいはそれらが厳密に複雑であるかどうかを調査すること。
• ユニバーサル係数定理を満たし、$K_1$-群が自明なキルバーグ代数への複雑度分析を拡張すること。
• $\mathcal{O}_2$ の自己同型の分類の難易度を、可算構造上の同型関係と比較すること。
• 単純なC*-代数の文脈において、これらの関係の非滑らかさが、可算構造による分類不能性を示唆するかどうかを検討すること。

提案手法

• $\mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2)$ にノルムにおける点별収束の位相を導入し、ポリッシュ群構造を与える。
• 記述的集合論の道具、特にワドゥー還元および完全な解析的集合の概念を適用する。
• 任意の可算構造の同型関係から、$K_1$-群が自明で、UCTを満たすキルバーグ代数の同型関係へのボレル還元を構成する。
• このようなキルバーグ代数の同型関係が完全な解析的集合であることを示す。
• キルバーグ代数の同型関係からの還元を用いて、$\mathcal{O}_2$ の自己同型の同型関係およびコサイクル同型関係が完全な解析的集合であることを証明する。
• 完全な解析的集合はボレルでないという事実を用い、分類問題の非ボレル性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2) \times \mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2)$ の部分集合としての $\mathcal{O}_2$ 自己同型の同型関係はボレルか？
• RQ2 $\mathcal{O}_2$ 自己同型のコサイクル同型関係はボレルか、それともより複雑か？
• RQ3 $\mathcal{O}_2$ 自己同型の同型関係またはコサイクル同型関係による分類は、ボレル同型関係を持つ可算構造の分類に還元可能か？
• RQ4 $K_1$-群が自明で、UCTを満たすキルバーグ代数の同型関係は完全な解析的集合か？
• RQ5 $\mathcal{O}_2$ 自己同型のコサイクル同型関係の非滑らかさは、それが可算構造による分類不能性を示唆するか？

主な発見

• $\mathcal{O}_2$ 自己同型の同型関係は完全な解析的集合であり、したがってボレルでない。
• $\mathcal{O}_2$ 自己同型のコサイクル同型関係も完全な解析的集合であり、したがってボレルでない。
• 固定された有限位数の自己同型に制限しても、同型関係およびコサイクル同型関係は依然として非ボレルのままである。
• $K_1$-群が自明で、ユニバーサル係数定理を満たすキルバーグ代数の同型関係は完全な解析的集合である。
• $\mathcal{O}_2$ 自己同型の同型関係またはコサイクル同型関係による分類は、ボレル同型関係を持つ任意の可算構造のクラスの分類よりも厳密に複雑である。
• 結果として、$\mathcal{O}_2$ におけるコサイクル同型関係は滑らかではなく、実際には可算構造による分類が不可能であることが示唆される。