[論文レビュー] Constraints on the R-charges of Free Bound States from the Römelsberger Index

Efrat Gerchkovitz|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$S^3 \times \mathbb{R}$ 上の Römelsberger 指数が、無限大から「状態が近づいてくる」特異性がこの幾何学では除外されることを示すことにより、その renormalization group (RG) フローにおける不変性を確立する。さらに、漸近的に自由な超対称的理論が R-荷重 $q_i \in (0,2)$ を持つ場合、それが自由なフェルミオン状態の結合状態に流れ着くならば、その結合状態の R-荷重 $ ilde{q}_j$ も $(0,2)$ の範囲内になければならないという制約を導出する。これは、Intriligator の IR 相選択に関する予想の弱い証明を提供する。

ABSTRACT

The Römelsberger index on S^3 x R serves as a powerful test for conjectured dualities, relying on the claim that this object is an RG-invariant. In this work we support this claim by showing that the singularities suggested by Witten of "states moving in from infinity" are excluded on S^3 x R. In addition, we provide an application of the Römelsberger index, in the form of a constraint on the RG flow of supersymmetric theories. The constraint, which applies for asymptotically free theories with unbroken supersymmetry and non-anomalous R-symmetry, is the following: if the R-charges of the chiral multiplets in the UV theory are 0

研究の動機と目的

• $S^3 \times \mathbb{R}$ 上での大場面的挙動に起因する特異性を除外することで、広く仮定されている Römelsberger 指数の RG 不変性を正当化すること。
• 漸近的に自由な超対称的理論の赤方半径（IR）相におけるフェルミオン結合状態の R-荷重に厳密な制約を与えること。
• a-maximization を用いた IR 相選択に関する Intriligator の予想の弱い形を支持すること。
• 相互作用をオンにした場合でも、連続的な RG フローにおいて指数が正しく定義され、連続的であることを示すこと。
• 未破れの超対称性と非異常な R-対称性を持つ可能性のある IR 自由理論に指数を適用し、その制約を求める。

提案手法

• $S^3 \times \mathbb{R}$ 上での Römelsberger 指数を、$S^3$ 上の球面調和関数への展開により分析し、ボソン的部品 $\{Q, Q^\dagger\}$ が有効磁場が $1/r$ に比例するランダウハミルトニアンに対応することを示す。
• $\{Q, Q^\dagger\}$ の固有関数が場の空間で指数関数的に減衰することを示し、これにより超ポテンシャルをオンにした場合でも低エネルギー状態に特異性が生じないことを保証する。
• 波動関数の指数的減衰を用いて、$\{Q, Q^\dagger\}$ の固有値が結合定数とともに連続的に変化することを証明し、指数の不変性を保つ。
• 自由フェルミオン multiplet に指数を適用し、ゼロモードの生成関数を計算し、既知の文献結果と一致することを確認する。
• UV の R-荷重 $q_i \in (0,2)$ と IR の自由結合状態を仮定したもとで、RG フローにおける指数の一貫性を要求することで、IR の R-荷重に制約を導出する。
• ゲージ場、ゲージノ場、スカラー場のモード展開を、ベクトルおよびスピン角調和関数を用いて行い、積分は [33] に既知の公式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大場面的挙動や「無限大から状態が近づいてくる」現象に起因する特異性が、$S^3 \times \mathbb{R}$ 上の Römelsberger 指数の RG 不変性を破壊するおそれがあるか。
• RQ2 R-荷重 $q_i \in (0,2)$ を持つ超対称的理論が、$ \tilde{q}_j \notin (0,2)$ を満たすフェルミオン結合状態の自由理論に流れ着ける条件は何か。
• RQ3 相互作用をオンにした場合でも、Römelsberger 指数は連続的な RG フローにおいて不変のままであるか。
• RQ4 未破れの超対称性を持つ漸近的に自由な理論において、指数を用いて IR のフェルミオン結合状態の R-荷重に制約を課すことができるか。
• RQ5 IR 結合状態の R-荷重に $\tilde{q}_j \in (0,2)$ という制約があることは、IR 相選択に関する Intriligator の予想の弱い形を支持する証拠となるか。

主な発見

• 大場面的挙動に起因する特異性は $S^3 \times \mathbb{R}$ 上に存在せず、Römelsberger 指数の RG 不変性が保証される。
• $\{Q, Q^\dagger\}$ の固有関数は場の空間で指数関数的に減衰し、不連続な準位の交差や固有値の特異的変化を防ぐ。
• 結合定数の連続的変形、特に超ポテンシャルやゲージ結合定数の追加に対しても、指数は不変のままである。
• 未破れの超対称性と $q_i \in (0,2)$ を満たす漸近的に自由な理論において、IR のフェルミオン結合状態の R-荷重 $ \tilde{q}_j$ は必ず $(0,2)$ の範囲内に存在しなければならない。
• 単一の異常なし R 対称性を仮定したもとで、a-maximization を用いた IR 相選択に関する Intriligator の予想の弱い証明が得られる。
• 自由フェルミオン multiplet の $S^3 \times \mathbb{R}$ 上での指数の生成関数は $\frac{2t^2 - t(y + y^{-1})}{(1 - t/y)(1 - ty)}$ として計算され、既知の結果と一致する。