[論文レビュー] Constructing special Lagrangian m-folds in C^m by evolving quadrics

Dominic Joyce|ArXiv.org|Aug 21, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特殊ラグランジュ m-部分多様体を ℂ^m に構成するため、非退化な二次曲面を ℝ^m で進化させる1パラメータ族の線形またはアフィン写像を用い、1階非線形常微分方程式を満たすものとして、その構成法を提示する。主な貢献は、特殊ラグランジュ部分多様体の大きな族を生み出す新規な方法であり、特に a+b=m−2 のときの S^a × S^b × S^1 上の錐（cone）を含む。m=3 の場合、明示的なパrametrization が得られ、その多くは ℂ³ 内の特殊ラグランジュ T²-錐の新しい例である。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers constructing explicit examples of special Lagrangian submanifolds in C^m. The first paper was math.DG/0008021, which studied special Lagrangian m-folds with large symmetry groups. The third is math.DG/0010036, which uses ideas from this paper to construct families of special Lagrangian 3-folds in C^3. This paper describes a construction of special Lagrangian m-folds in C^m which are fibred by (m-1)-submanifolds which are quadrics in Lagrangian planes R^m in C^m. Generically they have only discrete symmetry groups. Some of our examples have been previously constructed by Lawlor and Harvey, using different methods. The principal motivation for these papers is to lay the foundations for the study of singularities of compact special Lagrangian m-folds in Calabi-Yau m-folds. Understanding such singularities will be important in resolving the SYZ conjecture on Mirror Symmetry of Calabi-Yau 3-folds. The special Lagrangian m-folds in C^m we construct here include many cones on S^a x S^b x S^1 for a+b=m-2, which are local models for singularities of special Lagrangian m-folds in Calabi-Yau m-folds.

研究の動機と目的

• 特殊ラグランジュ m-部分多様体を ℂ^m に、進化する二次曲面を用いて一般化された構成法を開発すること。
• 特に球面の積上の錐を含む、特殊ラグランジュ部分多様体の明示的例を提供し、Calabi–Yau 多様体における特異点の局所モデルとしての役割を果たすこと。
• 大規模なグローバル対称性群を持つもの以外の特殊ラグランジュ部分多様体のクラスを拡張し、特に ℂ³ 内の新しい例を含めること。
• 進化フローが周期的となる条件を確立し、コンパクトまたは閉じた特殊ラグランジュ部分多様体が得られることを示すこと。
• m=3 の場合に、複素射影空間 ℂℙ^m 内の調和トーラスを介して、この構成を可積分系と結びつけること。

提案手法

• ℝ^n 内の (m−1) 次元部分多様体 P を、1パラメータ族の線形またはアフィン写像 φ_t: ℝ^n → ℂ^m を用いて進化させる。
• 写像 φ_t は、特殊ラグランジュ条件から導かれる1階非線形常微分方程式を満たす。
• 主な場合として、P は ℝ^m 内の非退化二次曲面（例：楕円体、放物面、双曲面）であり、進化は複素関数 w₁, w₂, β に関する常微分方程式系によって支配される。
• 線形版では中心を持つ二次曲面（例：楕円体）を線形写像で進化させる。アフィン版では中心を持たない二次曲面（例：放物面）をアフィン写像で進化させる。
• 得られる部分多様体 N ⊂ ℂ^m は、P がフロー φ_t で写された像であり、ODE 系が一貫して解かれた場合、特殊ラグランジュ的であることが示される。
• m=3 の場合、ODE は解ける系に簡略化され、ℂ³ 内の特殊ラグランジュ 3-部分多様体の明示的パラメータ表示が得られ、S^a × S^b × S^1 上の錐を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊ラグランジュ m-部分多様体を、ℝ^m 内の二次曲面を1パラメータ族の線形またはアフィン写像で進化させることによって、体系的に構成できるか？
• RQ2 進化フローが閉じた、あるいは周期的な部分多様体（特に球面の積上の錐）を生成する条件は何か？
• RQ3 得られる特殊ラグランジュ部分多様体の位相的・幾何学的性質は何か、特に m=3 の場合にどうなるか？
• RQ4 これらの構成は、可積分系や複素射影空間内の調和トーラスとどのように関係しているか？
• RQ5 特殊ラグランジュ 3-部分多様体、特に SL T²-錐としての新しい例が ℂ³ に存在するか、かつそれまでに知られていなかったものか？

主な発見

• 本稿では、非中心二次曲面（例：放物面）をアフィン写像で進化させることによる、初めての非中心二次曲面に対する構成法を提示し、ℂ^m 内に多数の特殊ラグランジュ m-部分多様体を構成した。
• m=3 の場合、特殊ラグランジュ 3-部分多様体の明示的パラメータ表示が得られ、a+b=1 を満たす S^a × S^b × S^1 上の錐を含み、ℂ³ 内の新しい SL T²-錐の例が得られた。
• 進化フローが周期的である場合、得られる特殊ラグランジュ m-部分多様体は閉じており、埋め込まれており、初期データに応じて ℝ^m またはより複雑な構造を持つ。
• 本構成法では、グローバル対称性群が非常に大きなものであるという従来の構成とは対照的に、有限のグローバル対称性群しか持たない例も得られた。
• m=3 の場合、ODE の解が明示的に得られ、N を複素パrameter C, D および実パrameter x₁, x₂, t の関数としてのパラメトリック表現が得られた。
• 既知の例（例：Lawlor–Harvey の錐）を再現するが、同時に Im(C𝒟̄) ≠ 0 または |C| ≠ |D| の場合、非平面的で埋め込まれた ℂ³ 内の特殊ラグランジュ 3-部分多様体を生成する新しい例も得られた。