[論文レビュー] Special Lagrangian fibrations, mirror symmetry and Calabi-Yau double covers

Denis Auroux|ArXiv.org|Mar 18, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特殊ラグランジュ被覆、鏡映性、およびカラビ＝ヤウ二重被覆の関係を調査し、ケーラー多様体 X の超曲面 H の補集合上に存在する特殊ラグランジュ被覆が、H に沿って分岐するカラビ＝ヤウ二重被覆 Y 上の Z/2-不変被覆に引き上げられることを提案する。主な結果は、Y 上の2つの例外的ドーナツから生じるインスタントン補正が鏡の幾何に影響を与え、修正された接続関係 uv = (1 + e^{-ε}z^{-1})(1 + e^{-ε}z) を生じることであり、これは X の鏡と |z| < 1 上での Y の鏡の制限の間の期待される整合性を破る。

ABSTRACT

The first part of this paper is a review of the Strominger-Yau-Zaslow conjecture in various settings. In particular, we summarize how, given a pair (X,D) consisting of a Kahler manifold and an anticanonical divisor, families of special Lagrangian tori in X-D and weighted counts of holomorphic discs in X can be used to build a Landau-Ginzburg model mirror to X. In the second part we turn to more speculative considerations about Calabi-Yau manifolds with holomorphic involutions and their quotients. Namely, given a hypersurface H representing twice the anticanonical class in a Kahler manifold X, we attempt to relate special Lagrangian fibrations on X-H and on the (Calabi-Yau) double cover of X branched along H; unfortunately, the implications for mirror symmetry are far from clear.

研究の動機と目的

• X\H 上の特殊ラグランジュ被覆が、[H] = 2K_X^{-1} を満たすケーラー多様体 X の超曲面 H の補集合上で、H に沿って分岐するカラビ＝ヤウ二重被覆 Y 上の Z/2-不変被覆に引き上げられるかどうかを調査すること。
• X の鏡（ホロモーフィックドーナツの数え上げと重み付き和を用いて構成）とカラビ＝ヤウ多様体 Y の鏡との関係を理解すること。
• 二重被覆に起因する2つの例外的ドーナツの存在下で、X\H から Y に移行する際のインスタントン補正が鏡の幾何に与える影響を検討すること。
• Y の鏡が、D に沿って2つの X に接合された形で退化する Y の構造に従って、2つの X^∨ を境界 S¹×D^∨ に沿って接合することで得られるかどうかを検証すること。

提案手法

• X の鏡を、X 内のホロモーフィックドーナツの重み付き数え上げにより Landau-Ginzburg モデル (X^∨, W) として構成し、超電位 W が壁越え現象とインスタントン補正を符号化すること。
• ストロマージン＝ヤウ＝ザスロウ（SYZ）予想をフレームワークとして用い、X\H 上の特殊ラグランジュ被覆とカラビ＝ヤウ二重被覆 Y 上のそれらの関係を、Y 上の被覆がホロモーフィック反転に関して不変であると仮定することで関係づける。
• 特に、例外的除法の逆像である −2 曲線 C が、壁に沿った特別ラグランジュ被覆と交差する際に2つのマスロフ指数 0 のドーナツに分裂することに注目し、二重被覆 Y のシンプレクティックおよび複素幾何を分析する。
• 両方の例外的ドーナツからの寄与を計算することで、鏡の幾何にインスタントン補正を適用し、Y の鏡における修正された接続関係を導出する。
• C*×C の (1,0) におけるブローモーの局所モデルを用い、壁越えとモノドロミーを研究する。座標は z, u, v で、壁は t1 = 0 に位置する。
• 二重被覆における壁を越える際の2つの異なる例外的ドーナツの寄与を考慮することで、修正された鏡関係 uv = (1 + e^{-ε}z^{-1})(1 + e^{-ε}z) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H に沿って分岐するカラビ＝ヤウ二重被覆 Y 上の Z/2-不変被覆に、X\H 上の特殊ラグランジュ被覆を引き上げることができるか、H に関する適切な条件下で。
• RQ2 Y 上の2つの例外的ドーナツからのインスタントン補正が鏡の幾何に与える影響は何か？ 修正された鏡は X の鏡と整合的か？
• RQ3 修正された Y の鏡には、z ↦ z^{-1} のホロモーフィック反転が存在するか？ その制限 |z| < 1 が、X のインスタントン補正付き鏡を回復するか？
• RQ4 特に H が二重アンチカノニカル除法 D に退化する極限において、Landau-Ginzburg モデル X^∨ とカラビ＝ヤウ鏡 Y^∨ の正確な関係は何か？
• RQ5 Y の鏡が、D に沿って2つの X に接合された Y の構造に従って、2つの X^∨ を境界 S¹×D^∨ に沿って接合することで構成できるか？

主な発見

• カラビ＝ヤウ二重被覆 Y のインスタントン補正付き鏡は、uv = (1 + e^{-ε}z^{-1})(1 + e^{-ε}z) で与えられ、Y 上の2つの例外的ドーナツからの寄与を反映している。
• 修正された鏡の幾何は、X の鏡と |z| < 1 上での Y の鏡の制限の間の期待される整合性を破る。これは、2つの X^∨ を境界に沿って接合するという単純な期待とは矛盾する。
• 修正された Y の鏡上でのホロモーフィック反転 z ↦ z^{-1} は保存されるが、X の鏡に制限されないため、鏡構造に非自明な変形が生じている。
• 二重被覆における壁越えは、2つの異なる例外的ドーナツの寄与を生じさせ、修正された接続関係に積構造をもたらす。これは、元の X の場合における単一の補正とは対照的である。
• Y に存在する −2 曲線 C が、壁に沿うファイバーと交差する際に2つのマスロフ指数 0 のドーナツに分裂することは、二重インスタントン補正が出現する上で不可欠である。
• 修正された鏡関係は、複素構造 Y^∨ が、S¹×D^∨ に沿って2つの X^∨ を接合することで得られるものではないことを示しており、二重被覆の幾何に起因する非自明なインスタントン補正が原因である。