[論文レビュー] Constructions and Cohomology of color Hom-Lie algebras

K. Abdaoui, Faouzi Ammar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、歪対称双字跡を備えた次数付き代数へのリー代数のコホモロジー理論の一般化として、色付きホム・リー代数のコホモロジー理論を導入する。Γ-次数付きのハートウィッグ＝ラルッソン＝シルベストロフの定理の版本を確立し、表現およびコホモロジーを構成し、$ (sl_2^c, [.,.]_\alpha, \varepsilon, \alpha) $ の第二コホモロジー群を計算し、α-微分作用素が新しい積演算を通じて色付きホム・ジョルダン代数を誘導することを証明する。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to define representations and a cohomology of color Hom-Lie algebras and to study some key constructions and properties. We describe Hartwig-Larsson-Silvestrov Theorem in the case of $Γ$-graded algebras, study one-parameter formal deformations, discuss $α^{k}$-generalized derivation and provide examples.

研究の動機と目的

• 色付きホム・リー代数の表現およびコホモロジーを定義し、研究すること。
• ハートウィッグ＝ラルッソン＝シルベストロフの定理をΓ-次数付き色付きホム・リー代数へ一般化すること。
• 色付きホム・リー代数における1パラメータ形式的変形を調査すること。
• 色付きホム・リー代数の文脈において、α^k-一般化微分作用素およびα^k-中心を分析すること。
• 新しい積演算を通じて、α-微分作用素と色付きホム・ジョルダン代数の間の関係を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、ε-歪対称的括弧と、ε-ホム・ジャコビ恒等式を満たす偶数自己準同型αを備えたΓ-次数付きベクトル空間として、色付きホム・リー代数を定義する。
• 標準的なリー代数コホモロジーをホム構造へ一般化するため、表現モジュール値のコチェーンからなるコホモロジー複体を導入する。
• 代数的変形がコホモロジー的条件と関連することを示す、Γ-次数付きのハートウィッグ＝ラルッソン＝シルベストロフの定理のバージョンを証明する。
• α-微分作用素の空間に、$ D_\gamma \bullet D_\mu = D_\gamma \circ D_\mu + \varepsilon(\gamma,\mu) D_\mu \circ D_\gamma $ という新しい積演算を構成する。
• コホモロジー複体を用いて、$ (sl_2^c, [.,.]_\alpha, \varepsilon, \alpha) $ の第二コホモロジー群を明示的に計算する。
• α-微分作用素の空間が新しい積に関して閉じており、それが色付きホム・ジョルダン代数をなすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Γ-次数付きおよび歪対称双字跡を備えた色付きホム・リー代数へ、コホモロジー理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 色付きホム・リー代数の文脈における1パラメータ形式的変形の構造は何か？
• RQ3 色付きホム・リー代数におけるα^k-一般化微分作用素およびα^k-中心は、どのように振る舞うか？
• RQ4 α-微分作用素と色付きホム・ジョルダン代数の間の関係は何か？
• RQ5 ハートウィッグ＝ラルッソン＝シルベストロフの定理は、色付きホム・リー代数のΓ-次数付き設定へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、表現モジュール値のコチェーン複体を用いて、色付きホム・リー代数のコホモロジー理論を構築する。
• $(sl_2^c, [.,.]_\alpha, \varepsilon, \alpha)$ の第二コホモロジー群が明示的に計算され、コホモロジー枠組みの具体的な例を提供する。
• Γ-次数付きのハートウィッグ＝ラルッソン＝シルベストロフの定理のバージョンが証明され、変形理論的結果が色付きホム・リー代数の文脈へ拡張される。
• 新しい積 $ D_\gamma \bullet D_\mu = D_\gamma \circ D_\mu + \varepsilon(\gamma,\mu) D_\mu \circ D_\gamma $ を備えたα-微分作用素の空間は、色付きホム・ジョルダン代数をなす。
• α-微分作用素の空間が新しい積に関して閉じており、その結果得られる代数がホム・ジョルダン恒等式を満たすことが示される。
• コホモロジー複体が、色付きホム・リー代数の1パラメータ形式的変形を制御することが示され、古典的変形理論が一般化される。