[論文レビュー] Continuity of Extremal Transitions and Flops for Calabi-Yau Manifolds

Xiaochun Rong, Yuguang Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体における極値的遷移およびフロップの下で、Candelasとde la Ossaの予想のバージョンを証明する。Gromov-Hausdorff収束を用いて、このような手術が、特異な中央ファイバーと同相な単一のコンパクトな距離空間に収束する連続的なリッチ平坦ケーラー計量の族を通じて接続可能であることを確立する。その極限計量は、滑らかでない部分集合を除く領域に、滑らかな部分集合上でリッチ平坦ケーラー形式から誘導される。

ABSTRACT

In this paper, we study the behavior of Ricci-flat Kähler metrics on Calabi-Yau manifolds under algebraic geometric surgeries: extremal transitions or flops. We prove a version of Candelas and de la Ossa's conjecture: Ricci-flat Calabi-Yau manifolds related by extremal transitions and flops can be connected by a path consisting of continuous families of Ricci-flat Calabi-Yau manifolds and a compact metric space in the Gromov-Hausdorff topology. In an essential step of the proof of our main result, the convergence of Ricci-flat Kähler metrics on Calabi-Yau manifolds along a smoothing is established, which can be of independent interests.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体における代数的幾何的手術を通じたリッチ平坦ケーラー計量の連続性に関するCandelasとde la Ossaの予想を検証すること。
• 極値的遷移およびフロップによって接続されるCalabi-Yau多様体が、Gromov-Hausdorff位相における連続的なリッチ平坦計量の族を通じて接続可能であることを確立すること。
• 特異なCalabi-Yau多様体の滑らか化に沿ったリッチ平坦ケーラー計量の収束を証明すること。これは独立に興味深い結果である。
• Gromov-Hausdorff位相における極限計量空間が特異な中央ファイバーと同相であり、その滑らかな部分集合上でリッチ平坦ケーラー計量を有することを示すこと。

提案手法

• トポロジーが変化する距離空間の収束を分析する枠組みとして、Gromov-Hausdorff位相を用いる。
• 特異ファイバー付近での全純体積形式の振る舞いを制御するために、ニルポテンス軌道定理および極限混合Hodge構造を適用する。
• 全純体積形式の引き戻しの、例外的除法に沿って少なくとも単純零点を持つセクションに拡張されることを確立し、形式のノルムの有界性を保証する。
• Gauss-Manin接続および平行移動を用いて、コホモロジー bundle の極限ファイバーを近傍の滑らかなファイバーのコホモロジーと同定する。
• ニルポテンス作用素 $N$ が極限Hodge類 $\Omega_{\lim}$ を消滅させることを示し、$e^{wN}\Omega_{\lim} = \Omega_{\lim}$ が成り立つことから、体積形式の $L^2$-ノルムの有界性が保証される。
• 文献[58]の結果を応用して、複素構造が特異ファイバーに退化するに従い、全純体積形式の $L^2$-ノルムが有界のままであることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体間の極値的遷移は、Gromov-Hausdorff位相におけるリッチ平坦ケーラー計量の空間内での連続的経路として実現可能か？
• RQ2 Calabi-Yau多様体間のフロップは、共通の極限空間に収束する連続的なリッチ平坦計量の変形を許容するか？
• RQ3 特異なCalabi-Yau多様体の滑らか化に沿ったリッチ平坦ケーラー計量の収束は、Gromov-Hausdorffの意味で一様に有界か？
• RQ4 Gromov-Hausdorff極限における極限計量空間は、その滑らかな部分集合上でリッチ平坦ケーラー構造を引き継ぐか？

主な発見

• Calabi-Yau多様体間の極値的遷移は、Gromov-Hausdorff位相において、特異な中央ファイバーと同相な単一のコンパクトな距離空間に収束する連続的なリッチ平坦ケーラー計量の族を通じて接続可能である。
• Calabi-Yau多様体間のフロップも同様に、Gromov-Hausdorff位相において同じコンパクトな極限空間に収束する二つのリッチ平坦計量の族を通じて接続可能である。
• 極限計量空間は、特異集合の補集合上で、体積形式の極限から誘導されるリッチ平坦ケーラー計量を持つ。
• 滑らか化に沿ったリッチ平坦ケーラー計量の収束は、主要な技術的ステップとして確立され、特異ファイバー付近で全純体積形式の $L^2$-ノルムが一様に有界であることが示された。
• ニルポテンス軌道定理により、極限Hodge類 $\Omega_{\lim}$ がモノドロミー作用に対して不変であることが保証され、計量ノルムの有界性が得られる。