[論文レビュー] Continuity of the solution map of the Euler equations in Hölder spaces and weak norm inflation in Besov spaces

Gerard Misiołek, Tsuyoshi Yoneda|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性Euler方程式の解写像が、$C^{1,\beta}$（$0<\beta<1$）という標準的な Hölder 空間では連続でないことが示され、一方で little Hölder 空間 $c^{1,\beta}$ に制限すると連続であることが示される。さらに、臨界空間 $B^{1}_{2,1}$ の近傍におけるBesov空間での不適切性（ill-posedness）が確立され、臨界指数に近いSobolev埋め込みの最良定数の不連続性が示唆される。

ABSTRACT

We construct an example showing that the solution map of the Euler equations is not continuous in the Hölder space from $C^{1,α}$ to $L^\infty_tC^{1,α}_x$ for any $0

研究の動機と目的

• 非圧縮性Euler方程式の解写像がHölder空間 $C^{1,\beta}$ および little Hölder 空間 $c^{1,\beta}$ において連続であるかを調査すること。
• 弱いノルムの増大を用いて、臨界空間 $B^{1}_{2,1}$ の近傍におけるBesov空間での不適切性を確立すること。
• smooth近似の役割を $C^{1,\beta}$ 空間で明確にし、smooth関数の非稠密性による失敗を説明すること。
• Sobolev埋め込みにおける最良定数が臨界指数 $s=1+2/p$ の近傍で連続でないことを示すこと。

提案手法

• DiPerna-Majda型のせん断流れを構築し、$C^{1,\alpha}$ 初期データに対する $L^\infty_t C^{1,\alpha}_x$ における解写像の不連続性を示す。
• smooth関数が $C^{1,\alpha}$ に稠密でないという事実を用いて、連続性の失敗を説明し、先行研究のメカニズムと対比する。
• エネルギー推定および $W^{s,p}$ ノルムにおけるGronwall型の議論を用いて、little Hölder 空間 $c^{1,\alpha}$ における解写像の連続性を証明する。
• 交換子推定（Kato-Ponce型）およびSobolev埋め込みを用いて、渇きの輸送方程式における $D^{s_*}$ ノルムを制御する。
• 初期データの滑らか化列 $u_0^j = \varphi_j * u_0$ を用いて $u_0$ を $W^{s,p}$ で近似し、解の収束を分析する。
• 弱い連続性および関数空間の分離可能性を活用して、渇き方程式における $L^p$ および $W^{s,p}$ ノルムにおける事前推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Euler方程式の解写像は、$C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ から $L^\infty([0,T), C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3))$ への写像として、$0<\alpha<1$ に対して連続か？
• RQ2 little Hölder 空間 $c^{1,\alpha}$ に制限した場合でも、解写像は連続のままであるか？
• RQ3 Besov空間 $B^{s}_{p,\infty}$ において $s=1$ および $p=2$ の近傍で観察される弱いノルムの増大は、Euler方程式の不適切性と関連しているか？
• RQ4 Sobolev埋め込み $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{p^*}(\mathbb{R}^n)$ の最良定数は、$p \to 2^+$ のとき連続的か？

主な発見

• Euler方程式の解写像は、任意の $0<\alpha<1$ に対して、$C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ から $L^\infty_t C^{1,\alpha}_x$ への写像として連続でない。
• little Hölder 空間 $c^{1,\alpha}(\mathbb{R}^n)$（$n=2,3$ および $0<\alpha<1$）において、解写像は連続的であり、Hadamardの意味での局所的well-posednessが成立する。
• 臨界空間 $B^{1}_{2,1}$ の近傍におけるBesov空間 $B^{s}_{p,\infty}$ での不適切性が確立され、弱いノルムの増大が観察された。
• Sobolev埋め込み $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{p^*}(\mathbb{R}^n)$ の最良定数の列は、$p \to 2^+$ のとき連続でない。
• $C^{1,\alpha}$ における連続性の失敗は、Riesz変換の有界性の欠如ではなく、smooth関数の非稠密性に起因する。
• 交換子推定およびGronwallの不等式を用いて、渇きの $W^{s,p}$ ノルムにおける事前推定が確立され、滑らか化された解の収束が可能となった。