[論文レビュー] Continuous-variable quantum state designs: theory and applications

Joseph T. Iosue, Kunal Sharma+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 126被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限次元ヒルベルト空間における標準的連続変数（CV）状態 $t$-デザインが $t \geq 2$ の場合に存在しないという問題を克服するため、装備付きヒルベルト空間内の非正規化状態であるrigged連続変数（CV）量子状態デザインを導入する。Fock状態と位相状態を用いて、$t=2$ の明示的riggedデザインを構築し、デザインベースのシャドウトモグラフィー方式を可能にするとともに、トーラス $2$-デザインと完全な相互に直交する基底（MUB）集合との関係を確立する。

ABSTRACT

We generalize the notion of quantum state designs to infinite-dimensional spaces. We first prove that, under the definition of continuous-variable (CV) state $t$-designs from Comm. Math. Phys. 326, 755 (2014), no state designs exist for $t\geq2$. Similarly, we prove that no CV unitary $t$-designs exist for $t\geq 2$. We propose an alternative definition for CV state designs, which we call rigged $t$-designs, and provide explicit constructions for $t=2$. As an application of rigged designs, we develop a design-based shadow-tomography protocol for CV states. Using energy-constrained versions of rigged designs, we define an average fidelity for CV quantum channels and relate this fidelity to the CV entanglement fidelity. As an additional result of independent interest, we establish a connection between torus $2$-designs and complete sets of mutually unbiased bases.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間における標準的連続変数（CV）量子状態 $t$-デザインが $t \geq 2$ の場合に存在しないという根本的制限を解決すること。
• 正規化条件を緩和することで、CV系における量子デザインの意味のある一般化を構築すること。
• 連続変数量子系における、シャドウトモグラフィーやfidelity推定などの新しい応用を可能にすること。
• 有限次元ヒルベルト空間におけるトーラス $2$-デザインと完全な相互に直交する基底（MUB）集合との関係を確立すること。
• CV量子チャネルにおけるエネルギー制約付き平均fidelityを定義し、CVエンタングルメントfidelityと関連付けること。

提案手法

• 緩和された空間 $S(\mathbb{R})'$ における非正規化状態を用いたrigged $t$-デザインを導入し、緩和されたヒルベルト空間をテイラー展開して緩和された分布を含める。
• Fock状態と位相状態を用いて、$t=2$ の明示的riggedデザインを構築し、位相推定に最適な正の演算子値測定（POVM）を形成する。
• rigged $2$-デザインを用いたデザインベースのシャドウトモグラフィー方式を開発し、低次の多項式観測量の期待値を推定可能にする。
• CV量子チャネルにおける平均fidelity推定を可能にするために、エネルギー制約付きriggedデザインを定義する。
• 単体デザインと状態デザインの関係を用いて、背理法により標準的CV $t$-デザインが $t \geq 2$ の場合に存在しないことを証明する。
• 互いに直交する基底が、サイズ $n^2$ の等重みトーラス $2$-デザインに対応することを示すことで、$n$-トーラス $2$-デザインと $\mathbb{C}^n$ 内の完全なMUB集合との間に関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ヒルベルト空間における標準的連続変数量子状態 $t$-デザインは、$t \geq 2$ の場合に存在するか？
• RQ2 標準的デザインが失敗する連続変数系において、量子デザインの意味のある一般化を定式化できるか？
• RQ3 rigged $t$-デザインは明示的に構築可能であり、実用的な量子情報プロトコルをサポートするか？
• RQ4 有限次元ヒルベルト空間におけるトーラス $2$-デザインと完全な相互に直交する基底（MUB）集合との間に、関係があるか？
• RQ5 エネルギー制約付きriggedデザインを用いて、CV量子チャネルにおける意味のある平均fidelityを定義でき、エンタングルメントfidelityと関連づけられるか？

主な発見

• 任意の可分で無限次元ヒルベルト空間、特に $L^2(\mathbb{R})$ において、標準的連続変数状態 $t$-デザインは $t \geq 2$ の場合に存在しない。
• 非ガウスユニタリを含む場合でさえ、連続変数ユニタリ $t$-デザインは $t \geq 2$ の場合に存在しない。
• rigged $2$-デザインは存在し、Fock状態と位相状態を用いて明示的に構築可能であり、位相推定に最適なPOVMを形成する。
• rigged $2$-デザインを用いたデザインベースのシャドウトモグラフィー方式が開発され、低次の多項式観測量の効率的推定が可能になる。
• エネルギー制約付きriggedデザインは、CV量子チャネルにおける平均fidelityを定義し、CVエンタングルメントfidelityと関連づけられることを示した。
• $\mathbb{C}^n$ 内の完全な相互に直交する基底集合が存在するための必要十分条件は、サイズ $n^2$ の等重み $n$-トーラス $2$-デザインが存在し、その位相が $n$ 個の正規直交基底を定義することである。