[論文レビュー] Contraction property for large perturbations of shocks of the barotropic Navier-Stokes system

Moon-Jin Kang, Alexis Vasseur|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、相対エントロピー法を用いて構築された新しい擬ノルムを用い、大規模な摂動下におけるバロトropicナビエ＝ストークス方程式における粘性ショックプロファイルの収縮性を確立する。主な結果は、粘性の強さに依存せずにショック安定性が成立することであり、これはa-収縮理論を粘性・可積分な場合、特に退化粘性（$\alpha = \gamma$）にまで拡張したものである。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the construction of a pseudo-norm, for which small shock profiles of the barotropic Navier-Stokes equation have a contraction property. This contraction property holds in the class of any large 1D weak solutions to the barotropic Navier-Stokes equation. It implies a stability condition which is independent of the strength of the viscosity. The proof is based on the relative entropy method, and is reminiscent to the notion of a-contraction first introduced by the authors in the hyperbolic case.

研究の動機と目的

• 任意の大規模摂動下におけるバロトropicナビエ＝ストークス系における粘性ショックプロファイルの収縮性を確立すること。
• 初期摂動の大きさにかかわらず、解がずらされたショックプロファイルへ収縮することを保証する擬ノルムを構築すること。
• 従来は双曲型保存則に用いられていたa-収縮枠組みを、退化粘性を有する粘性・可積分なナビエ＝ストークス系へ拡張すること。
• 摂動の大きさに関する小さな仮定や積分ゼロ条件を必要としないショックの安定性を証明すること。
• 重み関数を構築し、相対エントロピーを用いて大偏差に対して非線形Poincaré型不等式を導出すること。

提案手法

• バロトropicナビエ＝ストークス系に特化した、解とずらされたショックプロファイル間の相対エントロピーに基づく擬ノルムを構築する。$\alpha = \gamma$ の場合を想定する。
• 相対エントロピー法を適用し、解と粘性ショックプロファイルとの差の時間発展推定を導出する。
• 非一様構造に適合する重み関数を導入し、大規模摂動の制御を可能にする。
• 圧力則 $p(v) = v^{-\gamma}$ の構造を活用して、相対エントロピーを空間微分の項で上から抑える非線形Poincaré型不等式を用いる。
• エントロピー散逸における非線形性を制御するため、$|p(v) - p(\tilde{v}_\varepsilon)|$ の大きな値を切り詰める操作を行う。
• ショックサイズの展開を用いて系の漸近的挙動を解析し、関数不等式を用いてグローバル収縮の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の大規模摂動下におけるバロトropicナビエ＝ストークス系における粘性ショックの収縮性を確立できるか？
• RQ2 粘性の強さに依存しない収縮性を保証する擬ノルムを構築することは可能か？
• RQ3 相対エントロピー法を、退化粘性（$\mu(v) = b v^{-\gamma}$）の存在下での大偏差に対処するためにどのように適合できるか？
• RQ4 a-収縮枠組みは、非定数粘性を有する粘性・可積分系へ拡張可能か？
• RQ5 大摂動領域における相対エントロピーの時間発展を制御するために必要な関数不等式は何か？

主な発見

• $\alpha = \gamma$ のバロトropicナビエ＝ストークス系における粘性ショックプロファイルに対して、任意の大規模摂動に対して有効な収縮性が確立された。
• 収縮性は、相対エントロピーとショック構造に適合した重み関数に依存する特別に構築された擬ノルムを用いて証明された。
• 安定性結果は粘性の強さに依存せず成立し、摂動の大きさに関する小さな仮定や積分ゼロ条件の必要性が排除された。
• 証明は、圧力則の構造と粘性係数の構造に基づいて導出された非線形Poincaré型不等式に依存している。
• 著者らは、解がずらされたショックプロファイルと擬ノルムで近接したままであるようにするためのシフト $X(t)$ を構築した。これにより長期的安定性が保証された。
• 主要な補助関数 $g(x)$ の最大値が端点でのみ発生することを示す背理法を用い、非正性を証明することで収縮推定が可能になった。