[論文レビュー] Contraherent cosheaves

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 56被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、スキーム上のコターショングモジュールのグローバル化としての反代数的コシーブを導入し、準コンpactかつ半分離的またはネーター的スキームに、双対化複体を持つ場合に、準似層の導来圏と反代数的コシーブの導来圏を同一視する導来双対-反対応を確立する。代数的幾何における双対性理論を拡張し、Neemanの特異逆像関手 $f^!$ およびDeligneの $f^+$ の明示的構成を提供する。

ABSTRACT

Contraherent cosheaves are globalizations of cotorsion (or similar) modules over commutative rings obtained by gluing together over a scheme. The category of contraherent cosheaves over a scheme is a Quillen exact category with exact functors of infinite product. Over a quasi-compact semi-separated scheme or a Noetherian scheme of finite Krull dimension (in a different version - over any locally Noetherian scheme), it also has enough projectives. We construct the derived co-contra correspondence, meaning an equivalence between appropriate derived categories of quasi-coherent sheaves and contraherent cosheaves, over a quasi-compact semi-separated scheme and, in a different form, over a Noetherian scheme with a dualizing complex. The former point of view allows us to obtain an explicit construction of Neeman's extraordinary inverse image functor $f^!$ for a morphism of quasi-compact semi-separated schemes $f$. The latter approach provides an expanded version of the covariant Serre-Grothendieck duality theory and leads to Deligne's extraordinary inverse image functor $f^!$ (which we denote by $f^+$) for a morphism of finite type $f$ between Noetherian schemes. Semi-separated Noetherian stacks, affine Noetherian formal schemes, and ind-affine ind-schemes (together with the noncommutative analogues) are briefly discussed in the appendices.

研究の動機と目的

• スキーム上のコターショングモジュールを層的グリューピングにより層的対象に一般化し、反代数的コシーブを定義すること。
• 反代数的コシーブの圏に、無限積を正確に保つQuillenの完全カテゴリー構造を確立すること。
• 準似層の導来圏と反代数的コシーブの導来圏の間で、導来双対-反対応を確立すること。
• この双対-反対応を用いて、Neemanの $f^!$ 関手の明示的構成を提供すること。
• セール＝グロテンディーク双対性を、ネーター的および半分離的スキームを含むより広いクラスのスキームへ拡張すること。

提案手法

• スキーム上のコターショングモジュールの層的グリューピングにより、反代数的コシーブを構成すること。
• 反代数的コシーブの圏が、無限積関手を正確に保つQuillenの完全カテゴリーであることを示すこと。
• 準コンパクトかつ半分離的または有限クルール次元の局所ネーター的スキームにおいて、十分な射影対象が存在することを証明すること。
• 準似層の導来圏と反代数的コシーブの導来圏の間で、導来ファンクターを用いて導来双対-反対応を確立すること。
• この対応を用いて、準コンパクトかつ半分離的スキームの間の準同型写像に対してNeemanの $f^!$ を明示的に構成すること。
• 双対化複体を備えたネーター的スキームの間の有限型準同型写像に対して、双対性理論を拡張し、Deligneの $f^+$ 関手を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コターショングモジュールは、どのようにスキーム上の層的双対対象としてグローバライズ可能か？
• RQ2 反代数的コシーブの圏は、特に正確性と無限積に関して、どのようなカテゴリー的構造を有するか？
• RQ3 準似層の導来圏と反代数的コシーブの導来圏の間に、導来双対-反対応を確立できるか？
• RQ4 この双対-反対応を用いて、Neemanの特異逆像関手 $f^!$ をどのように明示的に構成できるか？
• RQ5 この双対-反対応は、双対化複体を持つネーター的スキームへ、共変セール＝グロテンディーク双対性をどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• スキーム上の反代数的コシーブの圏は、無限積関手を正確に保つQuillenの完全カテゴリーである。
• 準コンパクトかつ半分離的スキーム、または有限クルール次元のネーター的スキームにおいて、反代数的コシーブの圏は十分な射影対象を有する。
• 準コンパクトかつ半分離的スキーム上では、準似層の導来圏と反代数的コシーブの導来圏の間に導来双対-反対応が確立される。
• 双対-反対応により、準コンパクトかつ半分離的スキームの間の準同型写像に対して、Neemanの特異逆像関手 $f^!$ の明示的構成が可能になる。
• 双対化複体を持つネーター的スキームに対して、この対応は共変セール＝グロテンディーク双対性の拡張版をもたらし、Deligneの $f^+$ 関手を構成する。
• この枠組みは、半分離的ネーター的スタック、アフィンネーターの形式的スキーム、およびインダアフィンインダスケーム（非可換類似物を含む）へも拡張可能である。