[論文レビュー] Control at a distance of the motion of a rigid body immersed in a two-dimensional viscous incompressible fluid

József J. Kolumbán|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、物体から離れた場所に分布型の制御を適用することにより、2次元の粘性非圧縮性流体内における剛体の位置と速度の小時間完全制御可能性を確立する。ナビエ＝ストークス系にナビエの滑り摩擦条境界条件を適用し、多スケール漸近展開と粘性係数の消失極限を用いて解析することで、インパルス的制御が有限時間内に固体を任意の所望の状態に正確に誘導できることを示している。境界層補正項と非粘性制御戦略を活用することで実現される。

ABSTRACT

We consider the motion of a rigid body immersed in a two-dimensional viscous incompressible fluid with Navierslip-with-friction conditions at the solid boundary. The fluid-solid system occupies the whole plane. We provethe small-time exact controllability of the position and velocity of the solid when the control takes the form of adistributed force supported in a compact subset (with nonvoid interior) of the fluid domain, away from the body.The strategy relies on the introduction of a small parameter: we consider fast and strong amplitude controls forwhich the ``Navier-Stokes+rigid body'' system behaves like a perturbation of the ``Euler+rigid body'' system. Bythe means of a multi-scale asymptotic expansion we construct a controlled solution to the ``Navier-Stokes+rigidbody'' system thanks to some controlled solutions to ``Euler+rigid body''-type systems and to a detailed analysis ofthe influence of the boundary layer on the solid motion.

研究の動機と目的

• 物体に近接しない場所に分布型の力が加えられる状況において、2次元の粘性非圧縮性流体内に浮かぶ剛体の運動を制御するという課題に取り組む。
• ナビエの滑り摩擦境界条件の下で、固体の位置と速度の小時間完全制御可能性を確立する。
• エーラー系に基づく制御可能性とナビエ＝ストークス系の間のギャップを埋めるために、粘性境界層の影響を分析する。
• 非粘性近似と補正項を用いてナビエ＝ストークス＋剛体系の制御された解を構成する、きめ細やかな漸近的枠組みを構築する。

提案手法

• 小さな粘性係数を導入し、エーラー＋剛体系の摂動として系を解析する。
• 多スケール漸近展開を用いて解を非粘性項、境界層項、および剰余項に分解する。
• 非粘性項（u⁰）を用いて支配的流体力学をモデル化し、固体の運動を常微分方程式に再定式化することでその完全制御可能性を証明する。
• 固体境界付近の粘性効果とその固体の軌道への影響を補うために、境界層補正項（v, w, θ⁰）を構築する。
• 1階項（u¹）に対してインパルス的制御戦略を適用し、最終速度の正確な誘導を可能にする。この際、渇き度と線形化された常微分方程式の再定式化に依存する。
• フェードォ＝ガレルキン法とエネルギー推定を用いて、剰余項の弱解の存在性と連続性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の粘性非圧縮性流体内に浸漬された剛体の位置と速度は、物体から離れた場所に分布型制御を適用することによって、有限時間内に正確に制御可能か？
• RQ2 滑り摩擦境界条件を有するナビエ＝ストークス系は、エーラー系と比較して、流体＋固体系の制御可能性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 小粘性係数極限において、境界層補正項が粘性の影響を固体の運動に媒介する役割を果たすか？
• RQ4 インパルス的制御は、漸近展開の1階補正項を制御し、所望の最終状態に到達するために効果的に使用可能か？
• RQ5 粘性係数の消失極限は、非粘性系における制御可能性特性をどの程度保っているか？

主な発見

• 本稿は、物体から離れた場所に支持される分布型制御を用いて、剛体の位置と速度の小時間完全制御可能性を証明している。
• 制御戦略は、非粘性項（u⁰）が完全に制御可能であり、粘性効果を処理するための境界層補正項（v, w, θ⁰）を構築する多スケール漸近展開に依存している。
• 1階項（u¹）はインパルス的制御戦略により制御され、固体の最終速度の正確な誘導が可能である。
• フェードォ＝ガレルキン法を用いて剰余項を評価し、構築された制御枠組みのもとで弱解の存在性と連続性を保証している。
• 本手法により、ナビエ＝ストークス＋剛体系が小粘性係数極限においてエーラー＋剛体系の摂動として振る舞い、制御可能性の移行が可能であることが示された。
• 本手法は物体の形状に対して頑健であり、物体が円形でない場合でも、共形写像を用いた拡張が可能である。