[論文レビュー] Controllability of the cubic Schroedinger equation via a low-dimensional source term

Andrey Sarychev|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Advanced Mathematical Physics ProblemsMathematics参考文献 21被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、トーラス上での2次元非焦点化立方シュレーディンガー方程式が、加法的ソース項を用いて4つの制御モードでのみ制御可能であることを確立している。近似的制御可能性と有限次元部分空間における制御可能性が示され、また、有限次元制御では完全な空間における正確な制御可能性は不可能であることが示されている。

ABSTRACT

We study controllability of $d$-dimensional defocusing cubic Schroedinger equation under periodic boundary conditions. The control is applied additively, via a source term, which is a linear combination of few complex exponentials (modes) with time-variant coefficients - controls. We manage to prove that controlling at most $2^d$ modes one can achieve controllability of the equation in any finite-dimensional projection of the evolution space $H^{s}(\\mathbb{T}^d), \\ s>d/2$, as well as approximate controllability in $H^{s}(\\mathbb{T}^d)$. We also present negative result regarding exact controllability of cubic Schroedinger equation via a finite-dimensional source term.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件下での加法的制御を伴う2次元非焦点化立方シュレーディンガー方程式の制御可能性を調査すること。
• 特定の4つのモードに制限して、有限次元部分空間における制御可能性や、全ソボレフ空間 $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ における近似的制御可能性を達成できるかどうかを特定すること。
• 負の結果を確立する：ソース項の範囲が有限次元である場合、$ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 全体における正確な制御可能性は不可能である。
• 幾何的制御理論およびリー代数的手法を非線形偏微分方程式に応用し、流体力学からの技法を非線形シュレーディンガー系へと拡張すること。

提案手法

• 研究は、解析的複雑性を回避するため、$ \sigma > 0 $ に対して十分な正則性を持つソボレフ空間 $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 内での時間発展として立方シュレーディンガー方程式をモデル化する。
• 制御は加法的ソース項 $ F(t,x) = \sum_{k \in \hat{\mathcal{K}}} v_k(t) e^{ik \cdot x} $ を介して行われる。ここで $ \hat{\mathcal{K}} \subset \mathbb{Z}^2 $ は有限の波数ベクトル集合であり、$ v_k(t) \in L^\infty[0,T] $ は時間変動する制御係数である。
• 解析は幾何的制御理論からのリー代数的アプローチを採用し、制御モードに対応するベクトル場の反復リー括弧の張る空間に注目して到達可能性を評価する。
• 本稿は、ヒルバート空間におけるコンパクトネス基準と分割法を用いて、制御作用素の同調和性を証明する。これは、非線形項の有界性と自由伝搬作用素 $ e^{-i\tau\Delta} $ の等長性に依存する。
• 制御影響の積分に関する重要な推定式を確立し、リゾルベントノルム $ \|\cdot\|^{rx} $ を用いて、制御入力の $ L^1 $ ノルムが小さいほど状態への影響が小さくなることを示す。これは近似的制御可能性を証明するために不可欠である。
• 正確な制御可能性が有限次元制御では不可能であることを示すために、背理法が用いられる。非線形項の構造と制御空間の有限次元性に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非焦点化立方シュレーディンガー方程式は、ソース項に4つの制御モードを用いることで、$ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ で近似的に制御可能か？
• RQ2 4つのモードのみを制御することで、$ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ の任意の有限次元部分空間への制御可能性を達成できるか？
• RQ3 この系において、近似的制御可能性または有限次元部分空間の制御可能性を達成するために必要な最小モード数は何か？
• RQ4 有限次元ソース項を用いて、$ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 全体における正確な制御可能性を達成できるか？
• RQ5 非線形項 $ |u|^2 u $ の構造が、有限次元制御とどのように作用し、制御可能性を制限または可能にするか？

主な発見

• 加法的ソース項による4モード制御のみで、任意の $ \sigma > 0 $ に対して $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ で近似的制御可能である。
• 任意の有限次元部分空間への制御可能性は、4つの制御モードでのみ達成可能である。
• 本稿は、近似的制御可能性および有限次元部分空間制御可能性を満たす普遍的な4モード制御集合の族を同定した。
• ソース項の範囲が有限次元である限り、$ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 全体における正確な制御可能性は不可能である。
• 制御作用素の同調和性とリゾルベントノルム $ \|\cdot\|^{rx} $ を用いたコンパクトネスの議論により、小さな制御入力が小さな状態変化を引き起こすことが示された。
• 非線形項 $ |u|^2 u $ は $ H^{1+\sigma} $ 内で有界であるが、制御作用素が全空間上に全射でないことを示し、正確な制御可能性を妨げる。