[論文レビュー] Convergence of an Euler scheme for a hybrid stochastic-local volatility model with stochastic rates in foreign exchange markets

Andrei Cozma, Matthieu Mariapragassam+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Heston–2CIR++ ストキャスティック・ローカル・ボラティリティ・モデルにおける、CIR++ 短期金利に対してフル・トレンケーション・オイラー、為替レートに対して対数オイラーを組み合わせたモンテカルロシミュレーションスキームを提案する。割引為替レート近似の強いL¹収束を確立し、現実的な確率的金利動向下でのパス依存的為替デリバティブ、たとえばオートキャリアブル・ノートの信頼性の高い価格設定を可能にする。

ABSTRACT

We study the Heston-Cox-Ingersoll-Ross++ stochastic-local volatility model in the context of foreign exchange markets and propose a Monte Carlo simulation scheme which combines the full truncation Euler scheme for the stochastic volatility component and the stochastic domestic and foreign short interest rates with the log-Euler scheme for the exchange rate. We establish the exponential integrability of full truncation Euler approximations for the Cox-Ingersoll-Ross process and find a lower bound on the explosion time of these exponential moments. Under a full correlation structure and a realistic set of assumptions on the so-called leverage function, we prove the strong convergence of the exchange rate approximations and deduce the convergence of Monte Carlo estimators for a number of vanilla and path-dependent options. Then, we perform a series of numerical experiments for an autocallable barrier dual currency note.

研究の動機と目的

• ハイブリッド確率的ローカルボラティリティおよび確率的金利モデル下での為替オプションの堅牢なモンテカルロシミュレーションスキームの開発。
• 長期的な為替デリバティブ価格設定における定数金利仮定の限界の解消。
• 非アフィン的かつ相関のあるプロセスを含む全系におけるオイラー離散化スキームの強い収束の保証。
• 現実の市場動態下でのパス依存的オプション、特にオートキャリアブル・バリア・ノートの正確な評価の実現。
• ボラティリティおよび金利動態を捉えるモデルを用いた構造的為替商品のキャリブレーションおよびリスク管理の支援。

提案手法

• CIR++ プロセスでモデル化された国内および外国の短期金利に対して、非負性と安定性を保証するためのフル・トレンケーション・オイラースキームを用いる。
• 為替レートプロセスに対して正の値を維持し数値的安定性を向上させるために、対数オイラースキームを適用する。
• Heston–2CIR++ SLV モデルにおける完全相関構造を有する単一のモンテカルロフレームワーク内で、2つのスキームを統合する。
• CIR++ プロセスのフル・トレンケーション・オイラー近似の指数的可積分性を確立し、これらのモーメントの爆発時間の下界を導出する。
• 現実的なレバレッジ関数および完全相関構造下で、割引為替レート近似の強いL¹収束を証明する。
• オートキャリアブル・デュアル通貨ノートにおける数値実験を通じて収束性および性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された Heston–2CIR++ SLV モデルにおけるオイラースキームは、為替レート近似の強収束を達成するか？
• RQ2 CIR++ プロセスに対するフル・トレンケーション・オイラースキームは、指数的可積分性を保ち、モーメントの爆発を回避できるか？
• RQ3 確率的金利の導入は、定数金利モデルと比較して、長期的なパス依存的為替オプションの価格設定にどのような影響を与えるか？
• RQ4 モンテカルロシミュレーションにおける時間離散化誤差の経験的収束速度はどの程度か？
• RQ5 オートキャリアブル・バリア・ノートのような、埋め込まれたパス依存的特徴を持つ複雑な構造的ノートを、モデルが正確に価格付けできるか？

主な発見

• 本稿では、完全相関構造および現実的なレバレッジ関数下で、割引為替レート近似の強いL¹収束を確立し、非有界ペイオフを持つオプションのモンテカルロ推定量の収束を保証する。
• CIR++ プロセスのフル・トレンケーション・オイラースキームが指数的可積分であることが示され、指数モーメントの爆発時間の下界が導出された。
• オートキャリアブル・デュアル通貨ノートにおける数値実験では、時間離散化における1次収束率が確認され、時間ステップごとに経験的収束次数が0.996から1.184の範囲に分布した。
• 本モデルは、特にバリア特徴を持つ場合に、定数金利モデルと比較して長期的為替デリバティブの価格設定精度を顕著に向上させる。
• 確率的金利の影響は、構造的ノートに含まれるクーポン回数に応じて顕著に現れ、中～長期的製品では確率的金利動態の導入が不可欠であることを示している。
• 収束解析は、高次収束次数が確立された場合に、マルチレベル・モンテカルロ法の適用が効率性向上に寄与することを支持する。