[論文レビュー] Convex Hull Realizations of the Multiplihedra

Stefan Forcey|ArXiv.org|Jun 22, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、ユークリッド空間内の明示的に定義された点の凸包として、$n$番目のマルチプリヘドロンを実現する構成的アルゴリズムを提供し、マルチプリヘドロンが凸ポリトープとして実現可能かどうかという未解決問題を解決する。主な貢献は、塗られた2分木と重み付き座標を用いた幾何的実現であり、これは$A_n$-写像のアプローチを統一し、凸包とマルチプリヘドロンの構造との間の組合せ的同型を確立する。

ABSTRACT

We present a simple algorithm for determining the extremal points in Euclidean space whose convex hull is the nth polytope in the sequence known as the multiplihedra. This answers the open question of whether the multiplihedra could be realized as convex polytopes. We use this realization to unite the approach to A_n-maps of Iwase and Mimura to that of Boardman and Vogt. We include a review of the appearance of the nth multiplihedron for various n in the studies of higher homotopy commutativity, (weak) n-categories, A_infinity-categories, deformation theory, and moduli spaces. We also include suggestions for the use of our realizations in some of these areas as well as in related studies, including enriched category theory and the graph associahedra.

研究の動機と目的

• マルチプリヘドロンが凸ポリトープとして実現可能かどうかという未解決問題を解決すること。
• $n$番目のマルチプリヘドロンを形成する極値点を求める明示的アルゴリズムを提供すること。
• IwaseとMimuraの$A_n$-写像のアプローチと、BoardmanとVogtのアプローチを、幾何的実現を通じて統一すること。
• マルチプリヘドロンとアソシアヘドロン、$A_∞$-圏、モジュライ空間などの他の構造との間の組合せ的および幾何的関係を確立すること。

提案手法

• 重み付き座標と再帰的構成を用いて、塗られた2分木から$\mathbb{R}^{n-1}$内の点への写像$M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_q(t)$を定義する。
• アソシアヘドロン$\mathcal{K}(s)$とマルチプリヘドロン$\mathcal{J}(r)$の座標を用いて、下位木および上位木の細分に対応する点の凸包を構築する。
• $n$に関する帰納法を用い、すべての$n$枚の葉を持つ塗られた2分木$t$についての点$M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_q(t)$の凸包が次元$n-2$のポリトープをなすことを示す。
• 凸包の各面が、下位木または上位木の細分に対応しており、その面が対応する点の凸包であることを証明する。
• 座標の基底変換を用いて座標の順序を再編し、下位木$l(k,s)$の細分によって得られるポリトープが$\mathcal{J}(r) \times \mathcal{K}(s)$と組合せ的に同型であり、上位木$u(t,r_1,\dots,r_t)$に対しては$\mathcal{K}(t) \times \mathcal{J}(r_1) \times \cdots \times \mathcal{J}(r_t)$と同型であることを示す。
• 全体の凸包が塗られた木の空間$LW\mathcal{U}(n)$に位相的に同型であることを確立し、実現が組合せ的に正しいことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$番目のマルチプリヘドロンは、ユークリッド空間内に凸ポリトープとして実現可能か？
• RQ2 $n$番目のマルチプリヘドロンを形成する極値点の集合は何か？
• RQ3 マルチプリヘドロンの面は、下位木および上位木の塗られた木の細分とどのように対応するか？
• RQ4 マルチプリヘドロンの幾何的実現は、ホモトピー論における$A_n$-写像の異なるアプローチを統一できるか？
• RQ5 重み付き点の凸包と塗られた木の組合せ的構造との間の関係は何か？

主な発見

• $n$番目のマルチプリヘドロン$\mathcal{J}(n)$は、すべての$n$枚の葉を持つ塗られた2分木$t$についての点$M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_q(t)$の凸包として実現され、凸実現に関する未解決問題が解決された。
• 極値点は、重み付き座標と木の細分に基づく再帰的アルゴリズムによって明示的に構成された。
• 凸包の面は、下位木$l(k,s)$および上位木$u(t,r_1,\dots,r_t)$の細分と一対一に対応し、各面は対応する点の凸包である。
• 下位木$l(k,s)$の細分によって得られるポリトープは組合せ的に$\mathcal{J}(r) \times \mathcal{K}(s)$と同型であり、上位木$u(t,r_1,\dots,r_t)$に対しては$\mathcal{K}(t) \times \mathcal{J}(r_1) \times \cdots \times \mathcal{J}(r_t)$と同型であり、両者とも次元$n-2$である。
• 全体の凸包は、塗られた木の空間$LW\mathcal{U}(n)$に位相的に同型であり、正しい組合せ的型であることが確認された。
• この実現により、IwaseとMimuraの$A_n$-写像理論と、BoardmanとVogtの理論が共通の幾何的枠組みを通じて統一された。