[論文レビュー] Convex Splitting Schemes Interpreted as Fully Implicit Schemes in Disguise for Phase Field Modeling

Jinchao Xu, Yukun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、相場モデルにおける凸分割スキーム（CSS）が、数学的に完全に隠された完全陰解法（FIS）と同等であることを明らかにする—具体的には、アレン＝キャーンモデルにおける標準的なCSSは、より小さい時間刻みのFISに対応し、時間遅れの解を得るのに対し、カーン＝ヒリャードモデルでは、元のモデルの非自明な摂動版に対するFISに対応する。著者らは、離散的最大原理を保持し、ポアソン型作用素による一様なプリコンディショニングを可能にする、修正されたFIS/CSSを提案する。

ABSTRACT

Convex splitting schemes (CSS in short) are among the most popular numerical schemes used in phase-field modeling. In this paper, we report a simple observation that some well-known CSS can be interpreted as some fully implicit schemes (FIS in short) in disguise. For the Allen-Cahn model, we prove that the standard CSS is exactly the same as the standard FIS but with a (much) smaller time step size and as a result, it would provide an approximation to the original solution of the Allen-Cahn model at a delayed time (although the magnitude of such a delay is reduced when the time step size is reduced). For the Cahn-Hilliard model, we prove that the standard CSS is exactly the same as the standard FIS for a different model that is a (nontrivial) perturbation of the original Cahn-Hilliard model. Motivated by such an equivalence between CSS and FIS, we propose a modification of a typical FIS or CSS for the Allen-Cahn so that the maximum principle will be valid on the discrete level and we further rigorously prove that, the linearization of such a modified FIS or CSS can be uniformly preconditioned by a Poisson-like operator.

研究の動機と目的

• 相場モデルにおける凸分割スキーム（CSS）と完全陰解法（FIS）の数学的関係を明確化すること。
• アレン＝キャーン方程式およびカーン＝ヒリャード方程式において、CSSがFISとしての姿を隠している条件を特定すること。
• 数値解に離散的最大原理を満たすように保証する修正されたFISまたはCSSを構築すること。
• 線形化された系に対して、ポアソン型作用素を用いて一様なプリコンディショニングを確立することにより、反復解法の効率を向上させること。

提案手法

• アレン＝キャーンモデルにおける標準的CSSが、時間刻みを小さくしたFISに数学的に同等であることを証明し、その解が遅れて得られることを示す。
• カーン＝ヒリャードモデルにおける標準的CSSが、元のモデルの非自明に摂動されたバージョンに対するFISに正確に対応することを示す。
• 数値スキームの段階で離散的最大原理を満たすように保証する、修正されたFISまたはCSSの定式化を提案する。
• 修正されたスキームの線形化を分析し、ポアソン型作用素による一様なプリコンディショニングが可能であることを示し、メッシュサイズに依存しない収束性を保証する。
• 解析的手法を用いて、連続的および離散的設定における同等性と安定性の性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相場モデルにおける凸分割スキーム（CSS）は、数学的に完全陰解法（FIS）とどのように関係しているか？
• RQ2 アレン＝キャーン方程式において、CSSの解とそれに対応するFISとの間の正確な時間スケール関係は何か？
• RQ3 カーン＝ヒリャードCSSは、どのような意味で摂動されたモデルに対するFISと同等であるか？
• RQ4 離散的最大原理を保持するように修正されたFISまたはCSSを構築することは可能か？
• RQ5 修正されたスキームから生じる線形系は、ポアソン型作用素によって一様にプリコンディショニング可能か？

主な発見

• アレン＝キャーンモデルにおける標準的凸分割スキームは、時間刻みを小さくした完全陰解法と数学的に同等であり、その解は時間遅れの状態に達する。
• カーン＝ヒリャードモデルにおいて、標準的CSSは、元の式の非自明に摂動されたバージョンに対する完全陰解法と同等である。
• 提案された修正されたFISまたはCSSは、数値スキームの段階で離散的最大原理を満たすことを保証する。
• 修正されたスキームの線形化は、ポアソン型作用素による一様なプリコンディショニングを受けることができ、メッシュサイズに依存しない収束性が保証される。