[論文レビュー] Correspondence between future-included and future-not-included theories

Keiichi Nagao, H. B. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、未来を含む複素作用理論（CAT）と、適切な内積を持つ未来を含まない標準的量子理論との間の対応原理を確立する。自動ヒルベルト性メカニズムとヒルベルト演算子 $ Q' $ を活用することで、時間的隔たりが大きい場合に、未来を含む枠組みにおける行列要素が、非自明な内積を持つ未来を含まない理論におけるものに収束することを示し、非標準的構造にもかかわらず、物理的妥当性が裏付けられる。

ABSTRACT

We briefly review the correspondence principle proposed in our previous paper, which claims that if we regard a matrix element defined in terms of the future state at time $T_B$ and the past state at time $T_A$ as an expectation value in the complex action theory whose path runs over not only past but also future, the expectation value at the present time $t$ of a future-included theory for large $T_B-t$ and large $t-T_A$ corresponds to that of a future-not-included theory with a proper inner product for large $t-T_A$. This correspondence principle suggests that the future-included theory is not excluded phenomenologically.

研究の動機と目的

• 未来を含む複素作用理論（CAT）が、非標準的な時間対称構造を有しても、現象学的に妥当であるかどうかを調査すること。
• 未来を含む理論における行列要素と、非自明な内積を持つ標準的未来を含まない理論における行列要素との関係を明確にすること。
• 長時間間隔において、未来を含む理論における期待値が、適切に定義された内積を持つ未来を含まない理論における期待値と漸近的に一致することを示すこと。
• 自動ヒルベルト性メカニズムを通じて、非エルミートハミルトニアンが標準的量子力学的原理と整合することを示し、非エルミートハミルトニアンの使用を正当化すること。

提案手法

• 過去と未来の時間区間における経路積分を用いて、時間発展状態 $|A(t)\rangle$ と $|B(t)\rangle$ を定義する。ここで $T_A = -\infty$ かつ $T_B = \infty$ とする。
• 過去の発展には非エルミートハミルトニアン $\hat{H}$ を、未来の発展にはその随伴 $\hat{H}_B = \hat{H}^\dagger$ を用いる。
• 長時間発展後に非エルミート部分を抑制する自動ヒルベルト性メカニズムを適用し、漸近的領域で有効なエルミート性を保証する。
• 未来を含まない理論における適切な内積を定義するため、ヒルベルト演算子 $Q'$ を構築し、ユニタリ性と確率保存を保証する。
• 経路積分表現の漸近的解析を用いて、$t - T_A$ および $T_B - t$ が大きい場合に $\langle\mathcal{O}\rangle^{BA} \simeq \langle\mathcal{O}\rangle_{Q'}^{AA}$ の対応関係を導出する。
• 複素座標形式を避けるために、実数の $q$ 変数に制限することで解析を単純化し、核心的な対応関係を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未来を含む複素作用理論は、標準的未来を含まない量子理論と物理的に同等の期待値を生成できるか？
• RQ2 未来を含む理論における行列要素 $\langle\mathcal{O}\rangle^{BA}$ が、どのような条件下で標準的量子力学的期待値に収束するか？
• RQ3 未来を含む枠組みにおける非エルミートハミルトニアンが、長時間にわたって一貫したユニタリ的ダイナミクスを生じる仕組みは何か？
• RQ4 自動ヒルベルト性メカニズムは、非エルミートダイナミクスと標準的量子力学的観測量をどのように調和させるか？
• RQ5 未来を含まない理論における非局所的内積 $Q'$ は、現象的応用において有効に局所化可能か？

主な発見

• 時間的隔たり $t - T_A$ と $T_B - t$ が大きい場合、未来を含む理論における行列要素 $\langle\mathcal{O}\rangle^{BA}$ は、適切な内積 $Q'$ を持つ未来を含まない理論における期待値 $\langle\mathcal{O}\rangle_{Q'}^{AA}$ に漸近的に一致する。
• この対応関係は、長時間発展後に $\hat{H}$ の反エルミート部分を抑制する自動ヒルベルト性メカニズムによって確立され、有効なエルミート性が保証される。
• 未来を含まない理論における内積を定義するための演算子 $Q'$ は、$\hat{H}$ の対角化行列から導出され、$t - T_A$ が大きい領域では、制限された部分空間において $Q_2$ と等価であることが示された。
• この対応関係は、未来を含む複素作用理論が、適切な条件下で標準的量子理論と一致するため、現象学的に除外されないことを示唆する。
• 複素座標形式を用いないで実数の $q$ 変数に制限することで、この対応関係は簡素化された設定においても成立し、その堅牢性が確認された。
• 関数的積分フレームワークにおいて、未来を含む形式はより洗練されたように見えるため、非標準的な時間対称性にもかかわらず、より深い構造的利点を有している可能性がある。