[論文レビュー] Counting Bipartite, k-Colored and Directed Acyclic Multi Graphs Through F-nomial coefficients

Maciej Dziemiańczuk|ArXiv.org|Jan 11, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$N(\alpha)$-項係数—二項係数やガウス係数の一般化—を、ラベル付き二部グラフおよび$k$色付き$\alpha$-マルチグラフとして数える組合せ的解釈を新たに確立する。さらに、これらの係数の逆行列の絶対値付き第一行が、$n$ 頂点を持つラベル付き有向無閉路$\alpha$-マルチグラフの数に等しくなることを証明し、$N(\alpha)$-項係数の符号付き和を用いた閉形式の列挙式を提供する。

ABSTRACT

F-nomial coefficients encompass among others well-known binomial coefficients or Gaussian coefficients that count subsets of finite set and subspaces of finite vector space respectively. Here, the so called F-cobweb tiling sequences N(a) are considered. For such specific sequences a new interpretation with respect to Kwasniewski general combinatorial interpretation of F-nomial coefficients is unearhed. Namely, for tiling sequences F = N(a)$ the F-nomial coefficients are equal to the number of labeled special bipartite multigraphs denoted here as a-multigraphs G(a,n,k). An explicit relation between the number of k-colored a-multigraphs and multi N(a)-nomial coefficients is established. We also prove that the unsigned values of the first row of inversion matrix for N(a) -nomial coefficients considered here are equal to the numbers of directed acyclic a-multigraphs with n nodes.

研究の動機と目的

• 一般コブウェブ適応列への$F$-項係数の組合せ的解釈の拡張を、特定の$N(\alpha)$-タイリング列へと進める。
• ラベル付き二部$\alpha$-マルチグラフの数と$N(\alpha)$-項係数との直接的対応関係を確立する。
• $N(\alpha)$-項係数を用いて$k$色付き$\alpha$-マルチグラフの数の公式を導出する。
• $N(\alpha)$-項係数の逆行列の第一行の絶対値付き要素が、$n$ 頂点を持つラベル付き有向無閉路$\alpha$-マルチグラフの数を数えることを証明する。
• $N(\alpha)$-列から導かれるパrameter化された$F$-項係数族を用いて、既存のマルチグラフ列挙結果を統一的かつ一般化する。

提案手法

• $N(\alpha)$ を $n_{F} = n \cdot \alpha^{n-1}$ で定義されるコブウェブタイリング列とし、$N(\alpha)$-項係数の基盤を形成する。
• 標準的な$F$-項係数の公式 $\binom{n}{k}_F = \frac{n_F^{– k}}{k_F!}$ を用いる。ここで $n_F^{– k}$ は、列 $F$ における下降階乗を表す。
• ラベル付き二部$\alpha$-マルチグラフ $G(\alpha,n,k)$ の数が $\binom{n}{k}_F \cdot \alpha^{k(n-k)}$ に等しくなることを確立し、これにより$N(\alpha)$-項係数と関連付ける。
• 有向無閉路マルチグラフの数を数えるために、入次数が0（出点）である頂点を考慮し、包含除算法を適用して再帰的公式を導出する。
• $N(\alpha)$-項係数の逆公式を導出し、$\binom{n}{0}_F^{-1} = \sum_{s=1}^n (-1)^s \sum_{k_1+\cdots+k_s=n \atop k_i \geq 1} \binom{n}{k_1,\dots,k_s}_F$ を示す。
• 再帰的展開と組合せの再インデックス化を用いて、ラベル付き無閉路$\alpha$-マルチグラフの数 $A_\alpha(n)$ が $|\binom{n}{0}_F^{-1}| = (-1)^n \binom{n}{0}_F^{-1}$ に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$N(\alpha)$-項係数をマルチグラフ構造の組合せ的解釈として解釈できるか？
• RQ2 $k$色付き$\alpha$-マルチグラフの数の明示的公式は何か？また、$N(\alpha)$-項係数とどのように関係しているか？
• RQ3 ラベル付き有向無閉路$\alpha$-マルチグラフの数は、$N(\alpha)$-項係数の逆行列を用いて表現可能か？
• RQ4 包含除算法は、$\alpha$-多重辺を持つ無閉路マルチグラフの列挙にどのように寄与するか？
• RQ5 $N(\alpha)$-列の構造は、二項係数やガウス係数の解釈をマルチグラフへ一般化するためにどのように機能するか？

主な発見

• $n$ 頂点と、一方の部に$k$ 頂点を持つラベル付き二部$\alpha$-マルチグラフの数は $\beta_{\alpha,n,k} = \binom{n}{k}_{N(\alpha)} \cdot \alpha^{k(n-k)}$ に等しく、これにより$N(\alpha)$-項係数と直接関連づけられる。
• $k$色付き$\alpha$-マルチグラフの数は明示的に $\binom{n}{k}_{N(\alpha)} \cdot \alpha^{k(n-k)}$ で与えられ、この解釈は色付きバージョンへ拡張される。
• $N(\alpha)$-項係数の逆行列の絶対値付き第一行は、$n$ 頂点を持つラベル付き有向無閉路$\alpha$-マルチグラフの数に等しい。
• このような無閉路マルチグラフの数は $A_\alpha(n) = (-1)^n \binom{n}{0}_{N(\alpha)}^{-1}$ に等しく、$A_\alpha(0) = 1$ であるため、閉形式の表現が得られる。
• 導出過程では、無閉路マルチグラフにおける出点の再帰的包含除算法を用い、$n$ の組合せの和を符号付き$N(\alpha)$-項係数で表す。
• 既知の例 $\alpha=2$ において、この公式は、$F$-項係数を用いた二部グラフおよび無閉路グラフの列挙に既に知られている結果に還元される。