[論文レビュー] Courant morphisms and moment maps

Henrique Bursztyn, David Iglesias Ponte+1 more|ArXiv.org|Jan 10, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$E$ をコーエン代数的群、$A \subset E$ をディラック構造とするマニン対 $(E, A)$ に対して、コーエン写像を用いて、内在的であるHamiltonian空間の概念を導入する。この理論により、quasi-Poisson的およびディラック幾何的アプローチの両方のmoment map理論を自然に回復する統一的枠組みを構築し、関手的対応を通じてそれらの同値性を証明する。主な貢献は、moment mapによる還元を通じて、pre-symplectic群ガロアとquasi-Poisson群ガロアを結ぶ構成である。

ABSTRACT

We study Hamiltonian spaces associated with pairs (E,A), where E is a Courant algebroid and A\subset E is a Dirac structure. These spaces are defined in terms of morphisms of Courant algebroids with suitable compatibility conditions. Several of their properties are discussed, including a reduction procedure. This set-up encompasses familiar moment map theories, such as group-valued moment maps, and it provides an intrinsic approach from which different geometrical descriptions of moment maps can be naturally derived. As an application, we discuss the relationship between quasi-Poisson and presymplectic groupoids.

研究の動機と目的

• マニン対 $(E, A)$ に対するハミルトニアン空間の内在的で、データに依存しない定式化を提供すること。非標準的選択に依存しないようにすること。
• 2つの異なる幾何的定式化、すなわち、quasi-Poisson作用と同次空間へのディラック写像によるmoment map理論を統一すること。
• quasi-Poisson的およびディラック幾何的ハミルトニアン空間の間の関手的対応を確立すること。
• ハミルトニアン空間のmoment mapによる還元を通じて、pre-symplectic群ガロアとquasi-Poisson群ガロアを結ぶ橋渡しを構築すること。
• コーエン代数的群写像および補助的構造を持つディラック構造を用いて、moment map理論を一般化すること。

提案手法

• ハミルトニアン空間を三つ組 $(X, J, K)$ として定義する。ここで $J: X \to S$ はmoment mapであり、$K$ は $(TX \oplus T^*X) \times E$ 上のディラック構造で、$\mathrm{graph}(J)$ 上に台を持つ。この構造はマニン対 $(E, A)$ と整合性を持つ必要がある。
• マニン対の写像を用いて、ハミルトニアン空間の概念を形式化し、quasi-Poisson的およびディラック幾何的枠組みを一般化する。
• Lie quasi-bialgebroidの双対を用いた理論を適用し、ハミルトニアンquasi-Poisson空間を回復する。
• 閉3次形式によって定義されるコーエン代数的群に対して理論を適用し、強いディラック写像を通じてハミルトニアン空間を回復する。
• ハミルトニアン空間のmoment mapによる還元を通じて、pre-symplectic群ガロアとquasi-Poisson群ガロアの間の対応を構築する。
• ディラック構造の積分をLie群ガロア $\mathcal{G}$ に適用し、誘導される双ベクトル場 $\Pi_{\mathcal{G}}$ がLie quasi-bialgebroidから得られる乗法的quasi-Poisson構造と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マニン対 $(E, A)$ に対して、追加の幾何的データに依存しない統一的かつ内在的なハミルトニアン空間の定式化は可能か？
• RQ2 quasi-Poisson的およびディラック幾何的moment map理論の同値性は、概念的にどのように説明できるか？
• RQ3 moment mapおよび還元の観点から、pre-symplectic群ガロアとquasi-Poisson群ガロアの間の明確な関係は何か？
• RQ4 コーエン写像および積空間上のディラック構造は、どのようにハミルトニアン作用を符号化するか？
• RQ5 ディラック構造の積分は、pre-symplectic群ガロアからquasi-Poisson群ガロアを自然に構成する手がかりを与えるか？

主な発見

• マニン対 $(E, A)$ に対するハミルトニアン空間の内在的定式化は、コーエン写像および $X \times S$ 上のディラック構造を用いて行われ、moment map理論の統一的枠組みを提供する。
• $(E, A)$ に対するハミルトニアン空間の圏は、補助的選択に依存せず、quasi-Poisson的およびディラック幾何的圏と同型である。これにより、両者の同値性が説明される。
• $E = A \oplus A^*$ がLie quasi-bialgebroidの双対である場合、ハミルトニアン空間は正確にハミルトニアンquasi-Poisson空間に対応する。
• $E = TS \oplus T^*S$ が閉3次形式によって定義される場合、ハミルトニアン空間は $S$ への強いディラック写像を通じてハミルトニアン空間に対応する。
• この構成により、pre-symplectic群ガロアとquasi-Poisson群ガロアの間の関手的対応が得られ、両者のmoment map構造が明示的に結びつけられる。
• 積分された群ガロア $\mathcal{G}$ 上のquasi-Poisson双ベクトル場 $\Pi_{\mathcal{G}}$ は、Lie quasi-bialgebroidから得られる乗法的双ベクトル場と一致し、構成の整合性が証明される。