[論文レビュー] Crepant resolution conjecture in all genera for type A singularities

Jian Zhou|ArXiv.org|Nov 13, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、Hurwitz-Hodge積分と仮想局所化を用いて、$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$ の等変オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量を計算することにより、型Aの表面特異点に対する全種数のクレパント解消予想を証明する。主な結果は、解析接続を行った後、オルビフォールドとそのクレパント解消における不変量の生成関数が正確に一致することを示しており、型A特異点において予想が完全に一般化された形で確認された。

ABSTRACT

We prove an all genera version of the Crepant Resolution Conjecture of Ruan and Bryan-Graber for type A surface singularities. We are based on a method that explicitly computes Hurwitz-Hodge integrals described in an earlier paper and some recent results by Liu-Xu for some intersection numbers on the Deligne-Mumford moduli spaces. We also generalize our results to some three-dimensional orbifolds.

研究の動機と目的

• 型Aの表面特異点に対する全種数版クレパント解消予想（CRC）を確立すること。これは、従来の種数0の結果を拡張するものである。
• $[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$ の等変オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテンポテンシャルを、Hurwitz-Hodge積分と最近の交差数の結果を用いて、すべての種数で計算すること。
• 解析接続と変数変換の後、オルビフォールドの不変量の生成関数と解消先の不変量が一致することを検証すること。
• 結果を、$\mathbb{C}^*$-作用とクレパント解消をもつ特定の3次元オルビフォールドへ一般化し、CRCの適用範囲を表面を越えて拡大すること。

提案手法

• 以前の研究から得られたHurwitz-Hodge積分を用いて、$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$ の静的部を明示的に計算する。
• トーラス作用と固定点寄与を活用して、クレパント解消 $\widehat{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n} \times \mathbb{C}$ のポテンシャル関数を仮想局所化により計算する。
• シュール計算と対称関数の恒等式を用いて、生成関数を無限積とエイゼンスタイン級数の形に書き直す。
• リウ＝シュウによるDeligne-Mumford型モジュライ空間上の交差数の結果を活用し、必要なHodge積分の計算を処理する。
• キャラクタ和と単位根を用いて、オルビフォールドと解消のコホロロジー的パラメータ間の変数変換を導出する。
• 解析接続後の級数展開の一致により、オルビフォールドと解消のポテンシャルが等価であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型Aの表面特異点、特に $[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$ 及びそのクレパント解消について、全種数のクレパント解消予想は成り立つか？
• RQ2 $[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$ に対して、すべての種数における等変オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の生成関数を明示的に計算できるか？
• RQ3 解析接続の後、オルビフォールドのポテンシャルと解消のポテンシャルを結ぶ正確な変数変換が存在するか？
• RQ4 結果は、$\mathbb{C}^*$-作用とクレパント解消をもつ3次元オルビフォールドへ一般化可能か？

主な発見

• 解析接続を行った後、$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$ の等変オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の生成関数は、クレパント解消 $\widehat{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n} \times \mathbb{C}$ のポテンシャルと一致する。
• ポテンシャル関数は明示的に $ F^{\widehat{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n} \times \mathbb{C}}(\lambda; Q_1, \dots, Q_{n-1}) = \sum_{1\leq a\leq b\leq n-1} \sum_{d=1}^{\infty} \frac{\prod_{k=a}^{b} Q_k^d}{d} \cdot \frac{1}{4\sin^2(d\lambda/2)} $ と与えられる。
• オルビフォールドと解消のパラメータ間の変数変換は $ Q_j = \xi_n e^{v_j} $ で与えられ、ここで $ v_j = \frac{\sqrt{-1}}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{2 - 2\cos(2k\pi/n)} \, \xi_n^{jk} u_k $ である。
• 解析接続の後、変数 $ u_1, \dots, u_{n-1} $ についての3次以下の多項式項を除き、オルビフォールドのポテンシャル $ F^{[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n] \times \mathbb{C}} $ と解消のポテンシャルは等しい。
• 結果は、$ G = \mathbb{Z}_n $ に対するバイアン＝グラーバー予想の高種数版を確認し、以前の種数0の証明を拡張する。
• この手法は、特定の3次元オルビフォールドへも成功裏に一般化され、アプローチの広範な適用可能性を示唆している。