[論文レビュー] Crepant resolutions of weighted projective spaces and quantum deformations

Samuel Boissière, Étienne Mann+1 more|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、重み付き射影空間の Chen-Ruan 係数コホモロジーとそのクレパント解消の量子補正コホモロジーの間で、量子コホモロジー同型を確立する。$\mathbb{P}(1,3,4,4)$ に対しては、量子パラメータを $ (i,i,i,0) $ もしくは $ (-i,-i,-i,0) $ に評価した後、Chen-Ruan コホモロジー環がクレパント解消の量子補正コホモロジー環に同型であることを証明する。$\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ に対しては、Gromov-Witten 不変量と有理型二重点の変形理論を用いて、Chen-Ruan コホモロジー環がクレパント解消の通常コホモロジー環に同型であることを示す。

ABSTRACT

We compare the Chen-Ruan cohomology ring of the weighted projective spaces $\IP(1,3,4,4)$ and $\IP(1,...,1,n)$ with the cohomology ring of their crepant resolutions. In both cases, we prove that the Chen-Ruan cohomology ring is isomorphic to the quantum corrected cohomology ring of the crepant resolution after suitable evaluation of the quantum parameters. For this, we prove a formula for the Gromov-Witten invariants of the resolution of a transversal ${ m A}_3$ singularity.

研究の動機と目的

• 特定の重み付き射影空間に対して、Chen-Ruan コホモロジーとクレパント解消の量子補正コホモロジーを比較することにより、Cohomological Crepant Resolution Conjecture を検証すること。
• 有理型二重点の変形理論を用いて、横断的 $A_3$ 特異点のクレパント解消の Gromov-Witten 不変量を計算すること。
• $\mathbb{P}(1,3,4,4)$ の Chen-Ruan コホモロジー環と、そのクレパント解消の量子補正コホモロジー環との間の環同型を、量子パラメータの特定の評価後に行うことで確立すること。
• $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ に対して、Chen-Ruan コホモロジー環がそのクレパント解消の通常コホモロジー環に同型であることを証明し、この場合に同予想を確認すること。

提案手法

• 著者たちは、クレパント解消によって収縮される曲線の、 genus-zero 3点 Gromov-Witten 不変量を計算する。これらの曲線は、横断的 $A_3$ 特異点上での例外的除集合に含まれる。
• Gromov-Witten 不変量の変形不変性と、有理型二重点を持つ曲面の変形理論を用いて、これらの不変量を計算する。
• $\mathbb{P}(1,3,4,4)$ に対しては、4つの量子パラメータ $q_1, q_2, q_3, q_4$ を持つ小規模量子コホモロジーから、量子補正コホモロジー環を構成する。各パラメータは解消の異なる成分に対応する。
• クレパント解消の環構造は、スタック的ファングのトーリック記述を用い、トーラス不変ラインバンドルのチャーン類と Chow 環内の関係式から導出される。
• $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ に対しては、$\frac{1}{n}(1,\ldots,1)$ 特異点のトーリック解消を用いて、クレパント解消のコホモロジー環を計算する。ファングに新しいレ ray を追加する。
• Chen-Ruan コホモロジーは、$\exp(2\pi i k/n)$ でインデックス付けされるねじれセクターを用いて計算され、$H$ と $E_1$ を含む生成子と関係式による環構造が提示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子パラメータの特殊化後、$\mathbb{P}(1,3,4,4)$ に対して、Cohomological Crepant Resolution Conjecture が成り立つか、特に量子コホモロジー同型性についてどうか？
• RQ2 横断的 $A_3$ 特異点のクレパント解消の Gromov-Witten 不変量は何か？ そして、それらは量子補正コホモロジーにどのように寄与するか？
• RQ3 $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ の Chen-Ruan コホモロジー環は、そのクレパント解消の通常コホモロジー環に同型か？
• RQ4 $\mathbb{P}(1,3,4,4)$ の場合に、量子補正コホモロジーの量子パラメータと Chen-Ruan コホモロジー構造の関係は何か？
• RQ5 明示的な環準同型とパラメータ評価を用いて、Chen-Ruan コホモロジーと量子補正コホモロジーの同型を確立できるか？

主な発見

• $\mathbb{P}(1,3,4,4)$ に対しては、量子パラメータを $ (i,i,i,0) $ または $ (-i,-i,-i,0) $ に評価した後、Chen-Ruan コホモロジー環がクレパント解消の量子補正コホモロジー環に同型である。これは定理 3.3 で述べられている。
• 横断的 $A_3$ 特異点上での収縮曲線の Gromov-Witten 不変量が計算され、解消のコホモロジー環における量子補正を決定するために用いられる。
• $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ に対しては、Chen-Ruan コホモロジー環がクレパント解消の通常コホモロジー環に同型である。これは命題 6.1 で示されている。
• クレパント解消のコホモロジー環は、$ \mathbb{C}[h,e]/\langle h^n + (-1)^n (e/n)^n, he \rangle $ と表される。ここで $ h = b_0 + \frac{1}{n}e $ である。
• $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ の Chen-Ruan コホモロジー環は、$ \mathbb{C}[H,E_1]/\langle H^n - E_1^n, HE_1 \rangle $ に同型であり、同型は $ H \mapsto h $、$ E_1 \mapsto -\exp(\frac{i\pi}{n}) \frac{e}{n} $ で与えられる。
• $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ の場合、量子パラメータ $ q_1 $ は 0 に設定され、その成分の非自明な Gromov-Witten 不変量の計算が不要になる。