[論文レビュー] Crystalline topological phases as defect networks

Dominic V. Else, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2018

Topological Materials and Phenomena被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、G_int対称なトポロジカルな状態におけるG対称な欠陥ネットワークとして、ボソン系およびフェルミオン系におけるスピン系およびSET系を含む結晶的トポロジカル相を統一的に記述する欠陥ネットワーク図式を導入する。主な貢献は、ThorngrenとElse（2018）の広範な分類と等価であることを示す一般化された枠組みを確立したことであり、結晶的等価性原理に従い、非可逆的およびねじれた状況においても、結晶的トポロジカル相が内部対称性相と同じ不変量によって分類されることを証明している。

ABSTRACT

A crystalline topological phase is a topological phase with spatial symmetries. In this work, we give a very general physical picture of such phases: a topological phase with spatial symmetry $G$ (with internal symmetry $G_{\mathrm{int}} \leq G$) is described by a *defect network*: a $G$-symmetric network of defects in a topological phase with internal symmetry $G_{\mathrm{int}}$. The defect network picture works both for symmetry-protected topological (SPT) and symmetry-enriched topological (SET) phases, in systems of either bosons or fermions. We derive this picture both by physical arguments, and by a mathematical derivation from the general framework of [Thorngren and Else, Phys. Rev. X 8, 011040 (2018)]. In the case of crystalline SPT phases, the defect network picture reduces to a previously studied dimensional reduction picture, thus establishing the equivalence of this picture with the general framework of Thorngren and Else applied to crystalline SPTs.

研究の動機と目的

• 結晶的トポロジカル相を分類する競合する枠組み、特にブロック状態図式とThorngrenとElse（2018）の一般枠組みを統一すること。
• 欠陥ネットワーク形式を導入することで、ブロック状態図式を非可逆的トポロジカル相に拡張すること。
• 空間対称性Gを有する結晶的トポロジカル相が、結晶的等価性原理に従い、内部対称性相と同じ不変量によって分類されることを確立すること。
• 一般化されたコホロロジーにおいて、G-バンドルからG_m-バンドルへの制限写像の単射性を証明し、ユニットセルの拡大に伴う分類の安定性を保証すること。
• 内部対称性、磁気的並進、ねじれたコホロロジーを含むフレームワークの一般化を行い、フェルミオン系および相互作用系への広範な適用可能性を確保すること。

提案手法

• Gは空間対称性を含む全対称性群であるG対称な欠陥ネットワークとして、G_int対称なトポロジカル状態における欠陥ネットワーク図式を提唱する。
• 物理的議論とThorngrenとElse（2018）の一般枠組みからの数学的導出（スペクトル系列および障害理論を用いて）により、欠陥ネットワーク図式を導出する。
• Atiyah-HirzebruchおよびSerreスペクトル系列を用いて、BGおよびBG_mのコホロロジー群間の制限写像を分析し、mがコホロロジーの torsion と素数であれば単射であることを証明する。
• 障害理論を用いて、写像f∘iが定数写像にホモトープであれば、fも定数写像にホモトープであることを示す。ただし、次元lまでのホモトピー群におけるtorsionとmが素数であることが条件である。
• ねじれたコホロロジーおよびBG上のファイバー束へと議論を拡張し、同じ素数条件のもとで単射性が成り立つことを示す。
• 非アーベル群への一般化および磁気的並進などの拡張を検討し、mが拡張類の位数に対して1 mod である限り、制限写像が単射のまま保たれることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結晶的トポロジカル相のブロック状態図式は、任意ons（任意のons）を有するSET相を含む非可逆的相へ一般化可能か？
• RQ2 欠陥ネットワーク図式は、結晶的SPTおよびSET相に関して、ThorngrenとElse（2018）の一般分類枠組みと等価か？
• RQ3 結晶的等価性原理（結晶的相が内部対称性相と同じように分類される）は、非可逆的およびねじれた相に対しても成立するか？
• RQ4 mがコホロロジーの torsion と素数であるとき、H^n(BG, A)からH^n(BG_m, A)への制限写像が同型または単射となる条件は何か？
• RQ5 分類フレームワークは、内部対称性、磁気的並進、ねじれたコホロロジー群を含むように拡張可能か？

主な発見

• 欠陥ネットワーク図式は、ボソン系およびフェルミオン系におけるSPTおよびSET相を含む、結晶的トポロジカル相を統一的に記述する。
• フレームワークにより、結晶的トポロジカル相（対称性Gを有する）の分類が、結晶的等価性原理に従い、内部対称性相（群Gを有する）の分類と等価であることが証明された。
• mがAのすべての torsion と素数であれば、Serreスペクトル系列および torsion の素数性を用いて、H^n(BG, A)からH^n(BG_m, A)への制限写像が同型であることが示された。
• ねじれたコホロロジーにおいても、同様の単射性が成り立ち、torsion がねじれた係数と素数であれば、時間反転対称性および方向反転対称性に対しても拡張可能である。
• 任意の一般化されたコホロロジー理論（スピンコボルディズムやTQFTを含む）へも一般化可能であり、mがターゲット空間のπ≤n(pt)の torsion の積に対して1 mod であることが必要である。
• 磁気的並進などの拡張に対しても、ユニットセルを奇数倍に拡大しても対称性群が保たれ、制限写像が単射のまま保たれることを示した。