[論文レビュー] Cyclic covering morphisms on $\bar{M}_{0,n}$

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$n$ 個のマークド点で分岐する $p$ 次の巡回被覆準同型を用いて、$¯{M}_{0,n}$ 上のネフ線束およびベクトルバンドルの新しい幾何的構成を提示する。すべての $¯{sl}_n$ レベル 1 の conformal blocks ディバイザーがこの構成から生じることを証明し、対称ネフコーンにおける新たな極値線を構成する。特に $p=3$ および $p=5$ の場合にその構成が可能であり、F予想の進展をもたらし、既知のディバイザーの新しい代数幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

We study cyclic covering morphisms from $\bar{M}_{0,n}$ to moduli spaces of unpointed stable curves of positive genus or compactified moduli spaces of principally polarized abelian varieties. Our main application is a construction of new semipositive vector bundles and nef divisors on $\bar{M}_{0,n}$, with a view toward the F-conjecture. In particular, we construct new extremal rays of the symmetric nef cone of $\bar{M}_{0,n}$. We also find an alternate description of all sl level 1 conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$.

研究の動機と目的

• 巡回被覆準同型を用いて、$\overline{M}_{0,n}$ 上の新しい半正のベクトルバンドルおよびネフディバイザーを構成すること。
• $\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 の conformal blocks ディバイザーの代数幾何的実現を提供すること。
• すべての $\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 の conformal blocks ディバイザーが巡回被覆構成から生じることを証明すること。
• 既知の conformal blocks ディバイザーを越えて、対称ネフコーン $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ における新たな極値線を同定すること。
• このような巡回被覆構成によって生成されるものであることを示すことにより、F予想を支持すること。

提案手法

• $g = (n-2)(p-1)/2$ として、各 $n$-点付リーマン球面に対し、マークド点で分岐する $p$ 次被覆を定める巡回 $p$-被覆準同型 $f_{n,p}: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_g$ を定義する。
• 特異点を解消し、ホッジバンドルの引き戻しによるベクトルバンドルの構成を可能にするために、この準同型をルートスタックに持ち上げる。
• $\mu_p$-作用を用いてホッジバンドルを固有バンドル $\mathbb{E}_j$ に分解し、$f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)$ が $\overline{M}_{0,n}$ 上で半正であることを示す。
• $\det(f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)) = \mathbb{D}^1_{n,jn/p}/p$ を示し、この構成が $\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 の conformal blocks ディバイザーにリンクすることを確立する。
• $f_{n,p}^*(\lambda)$ のディバイザー類を $\frac{p}{12}\left(\left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\psi - \sum_k \left(1 - \frac{\gcd(k,p)^2}{p^2}\right)\Delta_k\right)$ として計算し、半アーマブルであることおよび $p \mid k$ を満たす境界ディバイザー $\Delta_k$ を収縮することを示す。
• 基底 $\mathbb{P}^1$ の3つの特別点 $\lambda = 0,1,\infty$ における微分形式の局所解析と消失位数を用いてチャーン類を計算し、固有バンドル $\mathbb{E}_j$ の次数がゼロであることを確認することで、それがラインバンドルであることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回被覆準同型を用いて、$\overline{M}_{0,n}$ 上の新しいネフディバイザーおよびベクトルバンドルを構成できるか？
• RQ2 すべての $\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 の conformal blocks ディバイザーが巡回被覆構成から生じるか？
• RQ3 この方法により、対称ネフコーン $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ における新たな極値線を構成できるか？
• RQ4 ホッジクラス $c_1(f_{n,p}^*(\mathbb{E}))$ は、conformal blocks ディバイザーの有効な線形結合として表せるか？
• RQ5 $3 \mid n$ の場合、$f_{n,3}$ による $9\lambda - \delta_{\text{irr}}$ の引き戻しは、$\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ の極値線を与えるか？

主な発見

• $f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)$ は $\overline{M}_{0,n}$ 上で半正であり、これにより新しい半正ベクトルバンドルの構成が得られる。
• $\det(f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)) = \mathbb{D}^1_{n,jn/p}/p$ であり、この構成によりすべての $\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 の conformal blocks ディバイザーが実現される。
• $f_{n,p}^*(\lambda)$ は半アーマブルであり、$\mathcal{A}_g$ のサタケコンパクト化への準同型を定める。境界ディバイザー $\Delta_k$ で $p \mid k$ を満たすものは収縮される。
• $3 \mid n$ の場合、$f_{n,3}^*(9\lambda - \delta_{\text{irr}})$ は $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ の極値線であり、既知の conformal blocks ディバイザーが生成するコーンの外にある。
• $p=5$ の場合、同様の構成により新たな極値線が得られ、より高い $p$ に対しても一般化可能なパターンが示唆される。
• 固有バンドル $\mathbb{E}_j$ は $c_1(\mathbb{E}_j) = 0$ を満たし、$\mathbb{P}^1$ の3つの特別点における有理1形式の消失位数を計算することで、それがラインバンドルであることが検証された。