[論文レビュー] Conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$ from $sl_2$

Valery Alexeev, Angela Gibney+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、$\mathfrak{sl}_2$ に関連する conformal blocks から生じる、すべての重みが1に等しく、レベル $l$ を変化させる $\overline{M}_{0,n}$ 上の半正則な除集合の族を研究する。これらの除集合が対称ネフ錐の境界上に位置し、双有理的収縮を定義し、サタケコンパクト化、GIT商、ハッセッ卜の重み付き安定曲線への幾何的準同型を実現することを示し、それらのクラスおよび $F$-曲線との交点数について明示的な公式を与える。

ABSTRACT

We study a family of semiample divisors on $\bar{M}_{0,n}$ defined using conformal blocks and analyze their associated morphisms.

研究の動機と目的

• すべての重みが1に等しい $\mathfrak{sl}_2$ から生じる $\overline{M}_{0,n}$ 上の conformal block 除集合の幾何的および数値的性質を分析すること。
• これらの除集合が、特に対称商 $\overline{M}_{0,n}/S_n$ 内のネフ錐の中でどの位置にあるかを特定すること。
• これらの除集合に関連する準同型を記述し、アーベル多様体のモジュライ空間や GIT 商といった既知のモジュライ空間との関係を同定すること。
• 除集合のクラスおよびそれらの $F$-曲線との交点数について明示的な公式を提供し、ネフ性および半正則性の組み合わせ的検証を可能にすること。

提案手法

• 著者たちは、$\mathfrak{sl}_2$ に対してレベル $\ell$ ですべての基本的重みが1に等しい場合の、$\overline{M}_{0,n}$ 上の conformal block バンドルの第一チャーン類を計算するために、ヴェルリンデの公式とファクルディンの再帰的公式を用いる。
• フラッグ写像を用いて $\overline{M}_{2(g+1)}$ 上の除集合と関連づけることにより、除集合クラス $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ を境界除集合 $\delta_J$ とホッジ類 $\lambda$ の線形結合として閉形式で表現する。
• キールとマケルナンのレイの定理およびファルカスとギブニーによるその拡張を用いて、すべての $F$-曲線との非負の交点数を確認することでネフ性を検証する。
• レベル $\ell = g-1$ および $\ell = g$ の場合、$F$-ネフ性（そしてしたがってネフ性）を保証するために、$\overline{M}_{2(g+1)}$ 上の除集合にネフ除集合 $\mathcal{D}$ を加える摂動を構成する。
• フラッグ写像 $f: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{2(g+1)}$ による除集合の引き戻しは、境界除集合 $B_j$ の線形結合として与えられることを用い、$\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ のクラスの明示的計算を可能にする。
• これらの除集合によって定義される準同型が、$A = (1/(\dots$ に対してハッセッ卜の削減写像 $\rho_A: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{0,A}$ を通じて因数分解することを検証する。
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実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての重みが1に等しい $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ は、$\overline{M}_{0,n}$ の対称ネフ錐内でどこに位置し、境界上にあるか、内部にあるか？
• RQ2 これらの除集合が定義する幾何的準同型は何か？ それらはサタケコンパクト化や GIT 商といった既知のモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ3 これらの除集合のクラスは、$\overline{M}_{0,n}$ 上の境界除集合とホッジ類を用いて閉形式で表現可能か？
• RQ4 レベル $\ell = g-1$ および $\ell = g$ の除集合は、GIT 商 $(\mathbb{P}^1)^n // \mathrm{SL}_2$ への準同型を定義するか？ もしそうなら、フラッグ写像とはどのように関係するか？
• RQ5 これらの除集合のネフ性を確認する組み合わせ的基準は存在するか？ そうでない場合、代替的手法は何か？

主な発見

• $\ell = 1,2,g-1,g$ の場合、除集合 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ は対称ネフ錐 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ の境界上に位置し、$\overline{M}_{0,n}/S_n$ の双有理的収縮を定義する。
• $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{1,(1,\ldots,1)}$ は、次元 $g$ のアーベル多様体のモジュライ空間のサタケコンパクト化への準同型を定義する。
• $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{g,(1,\ldots,1)}$ は、GIT 商 $(\mathbb{P}^1)^n // \mathrm{SL}_2$ への準同型を定義する。また、$\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{g-1,(1,\ldots,1)}$ は、この商の自然な一般化されたフラップ（flip）への写像を定義する。
• 各 $\ell \leq g-1$ に対して、除集合 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ に関連する準同型は、$A = (1/(\dots$ に対してハッセッ卜の削減写像 $\rho_A: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{0,A}$ を通じて因数分解される。
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