[論文レビュー] Decorated Defect Construction of Gapless-SPT States

Linhao Li, Masaki Oshikawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2022

Quantum and electron transport phenomena参考文献 61被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ や $\mathbb{Z}_4^\Gamma$ などのグローバルな対称性をもつ一次元スピン鎖におけるギャップレス対称性保護トポロジカル（gSPT）状態を体系的に実現・解析するための装飾的欠陥構成法を導入する。明示的なモデルの構築とねじれ境界条件、開放境界条件の解析を通じて、非自明な対称性電荷および頑健な二重境界 degeneracy を示し、ギャップレス系におけるトポロジカル不変量の解析的理解を確立する。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are one of the simplest, yet nontrivial, gapped systems that go beyond the Landau paradigm. In this work, we study an extension of the notion of SPT for gapless systems, namely, gapless symmetry protected topological states. We construct several simple gapless-SPT models using the decorated defect construction, which allow analytical understanding of non-trivial topological features including the symmetry charge under twisted boundary conditions, and boundary (quasi)-degeneracy under open boundary conditions. We also comment on the stability of the gapless-SPT models under symmetric perturbations, and apply small-scale exact diagonalization when direct analytic understanding is not available.

研究の動機と目的

• ギャップレス系への対称性保護トポロジカル（SPT）相の概念を拡張し、ギャップレスSPT（gSPT）状態の概念を導入すること。
• 一次元量子スピン鎖におけるギャップレスSPT相の実現・分類のための体系的構成法—装飾的欠陥構成法—を開発すること。
• ねじれ境界条件における対称性電荷および開放境界条件における境界（準）デジェネラシーを含む、ギャップレス系におけるトポロジカル不変量の解析的特徴づけを行うこと。
• 解析的手法が不十分な場合に、正確対角化を用いてgSPT相の対称的摂動に対する安定性を調査すること。
• $\mathbb{Z}_4$ igSPTモデルとLevin-Guモデルとの間の関係を確立し、基底状態領域で等価であることを確認すること。

提案手法

• トポロジカル欠陥に臨界的スピン鎖を装飾することで、非自明なギャップレストポロジカル秩序を実現する装飾的欠陥アプローチにより、gSPTおよびigSPTモデルを構築する。
• ジョルダン＝ヴァイナー変換を用いてハミルトニアンをXX鎖に正確に写像し、ねじれ境界条件における基底状態の対称性電荷を解析的に計算可能にする。
• ドメインウォールを元に戻すためにユニタリ変換（例：$U_{DW}$）を適用し、低エネルギーのハミルトニアンを解析に適した形に簡略化する。
• 開放境界条件（OBC）におけるスペクトル解析では、ハミルトニアンと可換な保存される境界演算子を同定し、デジェネレートした基底状態を導く。
• 低エネルギー有効理論を連続場理論に写像し、境界条件を $\theta(0/L) = \pm \pi/2$ でラベル付けし、エネルギー分裂が $\propto 1/L$ に比例することを示す。
• 解析的手法が不十分な場合に、小スケールの正確対角化を用いて安定性を調べ、解析的予測の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 装飾的欠陥構成法はどのようにギャップレスSPT相に一般化可能であり、その結果得られるトポロジカル不変量は何か？
• RQ2 $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPTモデルにおけるねじれ境界条件下での基底状態の対称性電荷は何か？
• RQ3 開放境界条件下でのギャップレスSPT相における二重境界デジェネラシーの起源と性質は何か？
• RQ4 $\mathbb{Z}_4$ igSPTモデルと $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPTモデルは、基底状態構造の観点でLevin-Guモデルとどのように比較できるか？
• RQ5 gSPT相は対称的摂動に対して安定か？解析的手法が不十分な場合に、その安定性をどのように評価できるか？

主な発見

• $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPTモデルは、ねじれ境界条件下で非自明な $\mathbb{Z}_2^\tau$ 電荷を示し、基底状態は $\prod_j \mu^x_j |\text{GS}\rangle_{\text{tw}} = -|\text{GS}\rangle_{\text{tw}}$ と変換する。
• 開放境界条件下では、$\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPTモデルは、ハミルトニアンと可換な境界演算子 $\mu^x_1 \tau^z_{3/2}$ および $\tau^z_{L+1/2}$ の存在により、正確に二重にデジェネレートした基底状態を支持する。
• $\mathbb{Z}_4^\Gamma$ igSPTモデルは、OBC下で二重境界デジェネラシーを示し、異なる境界条件セクター間のエネルギー分裂は $\propto 1/L$ に比例してスケーリングする。
• $\mathbb{Z}_4$ igSPTモデルの基底状態セクターはLevin-Guモデルと等価であり、ギャップレス領域における非自明なトポロジカル不変量が確認された。
• $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_4^y \times \mathbb{Z}^\mathbf{T}$ igSPTモデルは、$\mathbb{Z}_2^\mu$ ねじれ下で $\mathbb{Z}_2^\mu$ 電荷を示し、$U_\tau |\text{GS}\rangle_{\text{tw}}^{\mathbb{Z}_2^\mu} = -|\text{GS}\rangle_{\text{tw}}^{\mathbb{Z}_2^\mu}$ を満たす。これは非自明な対称性保護を示唆する。
• 正確対角化により、gSPTおよびigSPT相が対称的摂動に対して安定であり、小スケール系ではレベルクロッシングが観測されなかった。