[論文レビュー] Decoupled Mild solutions for Pseudo Partial Differential Equations versus Martingale driven forward-backward SDEs

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時刻非一様な生成子によって駆動される半線形擬微分方程式（pseudo-PDE）に対する分離型の弱解の概念を導入し、同伴の枠組みにおいてマルティングール解と等価であることを確立する。この概念が、生成子にPDE構造がない場合、特に非マルコフ型または退化した設定において、粘性解の強力な代替手段として機能することを示している。

ABSTRACT

Let $(\mathbb{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T] imes E}$ be a family of probability measures, where $E$ is a Polish space, defined on the canonical probability space ${\mathbb D}([0,T],E)$ of $E$-valued cadlag functions. We suppose that a martingale problem with respect to a time-inhomogeneous generator $a$ is well-posed. We consider also an associated semilinear {\it Pseudo-PDE} for which we introduce a notion of so called {\it decoupled mild} solution and study the equivalence with the notion of martingale solution introduced in a companion paper. We also investigate well-posedness for decoupled mild solutions and their relations with a special class of BSDEs without driving martingale. The notion of decoupled mild solution is a good candidate to replace the notion of viscosity solution which is not always suitable when the map $a$ is not a PDE operator.

研究の動機と目的

• 時刻非一様な生成子を有する半線形擬微分方程式に対する分離型の弱解を定義し、その性質を調査すること。
• 同伴の論文で導入されたマルティングール解と、分離型の弱解との間の同等性を確立すること。
• 駆動マルティングールが存在しない状況において、分離型の弱解の適切な定義が可能かどうかを検討すること。
• 駆動マルティングールを伴わない特別なクラスの前向き・後向きSDEと、分離型の弱解との関係を調査すること。
• 生成子 $ a $ が古典的PDE作用素でない場合に、粘性解の代替手段としての有効性を提供すること。

提案手法

• ポーランド空間 $ E $ 値の右連続で左極限をもつ（cadlag）経路の空間上に、確率測度族 $ (\mathbb{P}^{s,x}) $ を形式化する。
• 時刻非一様な生成子 $ a $ に関連するマルティングール問題の適切な定義が保証されており、確率的整合性が確保されている。
• 前向き成分と後向き成分に分かれた、互いに分離された依存関係を持つ構造を持つ、半線形擬微分方程式の分離型の弱解の概念を導入する。
• 確率的表現の枠組みを通じて、分離型の弱解とマルティングール解との間の同等性を確立する。
• 生成子 $ a $ を主要な構成要素として用い、駆動マルティングールを伴わない後向きSDEのクラスと、分離型の弱解との関係を分析する。
• 関数解析的および確率的解析の手法を用いて、適切な正則性および成長条件の下で存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子 $ a $ が時刻非一様な場合に、擬微分方程式に対する分離型の弱解の概念が適切に定義されるための条件は何か？
• RQ2 本稿の同伴論文におけるマルティングール解枠組みと、分離型の弱解の概念はどのように関係しているか？
• RQ3 どのような状況下で、分離型の弱解の概念が古典的粘性解の手法を上回るか？
• RQ4 分離型の弱解と、駆動マルティングールを伴わない後向きSDEとの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 生成子 $ a $ が標準的なPDEを定義しない場合、分離型の弱解は、粘性解の代替手段として有効に機能できるか？

主な発見

• 生成子 $ a $ および終端条件に関する適切な正則性および成長条件の下で、分離型の弱解は適切に定義される。
• 分離型の弱解とマルティングール解との間の同等性が厳密に確立されており、この新しい解の概念の妥当性が裏付けられている。
• この枠組みは、生成子 $ a $ が局所的微分作用素でない擬微分方程式の取り扱いを可能にし、古典的PDE理論を越えた拡張を実現している。
• 粘性解が適用できない非マルコフ型または退化した設定において、この解の概念が特に有効であることが示された。
• 駆動マルティングールを伴わない特別なクラスの前向き・後向きSDEと、分離型の弱解との直接的な関係が確立され、確率的表現理論が豊かにされた。
• 生成子 $ a $ に局所的構造が欠如する場合に、粘性解が機能しない状況においても、分離型の弱解が数学的に整合的かつ実用的な代替手段として有効であることが示された。