[論文レビュー] Defects, dualities and the geometry of strings via gerbes. I. Dualities and state fusion through defects

Rafa L R. Suszek|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 99被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、 bundle gerbes を用いて、2次元非線形 sigma モデルにおける conformal 缶失、双対性、およびストリング相互作用を結びつける幾何的枠組みを確立する。pre-quantum バンドルを用いた状態空間の記述を通じて、缶失接合の状態を記述し、缶失によって誘発される双対性が、ねじれ項と未ねじれ項の間の intertwining 演算子から生じることを示し、ねじれ項における pullback バンドルの明示的同型が、融合則の整合性を確認する。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers discussing canonical aspects of the two-dimensional non-linear sigma model in the presence of conformal defects on the world-sheet in the framework of gerbe theory. In the paper, the basic tools of the state-space analysis are introduced, such as the symplectic structure on the state space of the sigma model and the pre-quantum bundle over it, and a relation between the defects and dualities of the sigma model is established. Also, a state-space description of the splitting-joining interaction of the string across the defect is presented, leading to an interpretation of the geometric data associated to junctions of defect lines in terms of intertwiners between the incoming and outgoing sectors of the theory in interaction.

研究の動機と目的

• gerbe 理論的構造を用いて、2次元非線形 sigma モデルにおける conformal 缶失を分析するための標準的枠組みを構築すること。
• それらの双対性の幾何的起源を、缶失によって誘発される対称性および状態空間の等方性と関連づけることによって明確化すること。
• 特にねじれ項において、ストリング相互作用を状態空間の記述として記述すること。
• ねじれ項における pullback バンドルの明示的同型を確立し、融合則の整合性を確認すること。
• gerbe 語と pre-quantization 語を用いて、缶失によって誘発される双対性とストリング相互作用の記述を統一すること。

提案手法

• sigma モデルの共変形式を用いて、状態空間にシンプレクティック構造を定義し、その上に pre-quantum 線バンドルを構成する。
• 接続を伴う bundle gerbes を用いて、Deligne コhomオロジー類を介して sigma モデルを分類し、作用関数の位相的項を定義する。
• 缶失線を、状態空間構造を変更し、異なる項の間の intertwining 演算子を誘発することで双対性変換を引き起こす幾何的対象として導入する。
• ホロノミーおよび gerbe の遷移関数を、缶失接合を含む三角形分割された世界面で計算する。
• 頂点における貼り合わせ条件と局所 gerbe データを用いて、遷移関数およびホロノミー位相の明示的表現を導出する。
• 局所関数の明示的計算を通じて、曲率および遷移関数が一致することを検証し、相互作用部分空間上での pullback バンドル間の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sigma モデルにおける conformal 缶失は、どのように異なる量子場理論の間の双対性を生じさせるか？
• RQ2 gerbe が sigma モデルを分類し、その位相的項を符号化するにあたり、果たす幾何的役割は何か？
• RQ3 状態の融合および入射・出射項の間の intertwining 演算子の観点から、缶失接合はどのように記述できるか？
• RQ4 缶失が存在する状況下で、pre-quantum バンドルと状態空間構造の間の明確な関係は何か？
• RQ5 sigma モデルのねじれ項と未ねじれ項は、缶失接合でどのように相互作用し、融合プロセスの整合性を保証する条件は何か？

主な発見

• 缶失は、gerbe データに符号化された双対性構造を持つ、異なる理論の項の間の intertwining 演算子として作用することで、双対性を誘発する。
• sigma モデルの状態空間には自然なシンプレクティック構造が存在し、pre-quantum バンドルは gerbe の Deligne コホモロジー類によって標準的に定義される。
• 缶失接合における状態の融合は、pullback バンドル間の同型を通じて整合的に記述され、曲率および遷移関数の一致が明示的計算によって確認されている。
• ねじれ項において、相互作用は局所関数 $ f^{+-}_{\text{loc}} $ によって支配され、これは $ ({\rm pr}_1 \times {\rm pr}_2)^*\tilde{\nabla} $ と $ {\rm pr}_3^*\tilde{\nabla}^\flat $ の間の同型を定義し、量子論の整合性を保証する。
• 頂点における貼り合わせ条件により、$ v_- $ における場 $ X_1 $ と $ X_2 $ の交換が可能となり、ホロノミー表現における顕在的な非対称性が解消される。
• pre-quantum 接続の曲率は $ ({\rm pr}_1 \times {\rm pr}_2)^*\theta - {\rm pr}_3^*\theta = -{\rm i} \, {\rm d} \log f^{+-} $ を満たし、接続のレベルで同型が確認される。