[論文レビュー] Deformation principle and further geometrization of physics

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Apr 23, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、世界関数 σ によって完全に定義される物理的幾何学を特徴づける変形原理に基づく物理学の幾何的基盤を提唱する。この枠組みでは、リーマン幾何学を一般化して多価的構造を含むように拡張された、多価的時空における量子効果および離散的・連続的幾何学を一様に記述できる。ユークリッド的世界関数 σ_E を物理的世界関数 σ に置き換えることで、量子的挙動や基本粒子を幾何的対象として自然に記述でき、量子的性質の幾何的説明が可能になる。

ABSTRACT

The space-time geometry is considered to be a physical geometry, i.e. a geometry described completely by the world function. All geometrical concepts and geometric objects are taken from the proper Euclidean geometry. They are expressed via the Euclidean world function σ_E and declared to be concepts and objects of any physical geometry, provided the Euclidean world function σ_E is replaced by the world function σof the physical geometry in question. The set of physical geometries is more powerful, than the set of Riemannian geometries, and one needs to choose a true space-time geometry. In general, the physical geometry is multivariant (there are many vectors which are equivalent to a given vector, but are not equivalent between themselves). The multivariance admits one to describe quantum effects as geometric effects and to consider existence of elementary particles as a geometrical problem, when the possibility of the physical existence of an elementary geometric object in the form of a physical body is determined by the space-time geometry. Multivariance admits one to describe discrete and continuous geometries, using the same technique. A use of physical geometry admits one to realize the geometrical approach to the quantum theory and to the theory of elementary particles.

研究の動機と目的

• リーマン幾何学を超えて多価性を組み込むことで、物理学の包括的な幾何的枠組みを構築すること。
• 従来の幾何学が微小スケールの現象（量子的挙動や離散的構造など）を記述する上で抱える制限を解消すること。
• 量子力学および基本粒子理論の幾何的基盤を確立すること。特に、量子的効果を幾何的性質そのものとして扱うことで実現する。
• 世界関数に基づく同一の形式主義を用いて、離散的および連続的幾何学を構築する方法を提供すること。
• 物理的観測量（特に粒子運動および質量に関連するもの）との一致を通じて、T-幾何学の族の中から真の時空幾何学を同定すること。

提案手法

• すべての幾何的対象および概念を世界関数 σ によって定義し、ユークリッド幾何学を任意の物理的幾何学へ一般化する。
• 変形原理を適用して、ユークリッド的世界関数 σ_E を物理的世界関数 σ に変形することで、新しい幾何学を生成する。
• チューブ型幾何学（T-幾何学）を、特に時間的ベクトルに対して多価性を自然に含む物理的幾何学のクラスとして用いる。
• 与えられたベクトルに等価な複数のベクトルが存在するが、それら同士は互いに等価でないような時空幾何学を構築し、多価性を導入する。
• 世界関数 σ が標準的なリーマン方程式 (8.1) を満たさない場合でも、計量テンソル g^{ik}(x) を σ から導出可能であり、非リーマン幾何学を許容する。
• 多価的幾何学が、波動関数や力場を仮定せずに、幾何的構造に起因する量子的挙動を再現できることを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子的効果が、波動関数や確率的仮定を導入するのではなく、多価的時空幾何学の幾何的結果として説明可能であるか？
• RQ2 同一の形式主義を用いて、離散的および連続的幾何学を統一的に記述できるか？
• RQ3 世界関数 σ が、観測された量子的挙動を再現する時空幾何学を生成するためには、どのような条件を満たす必要があるか？
• RQ4 基本粒子の存在および性質が、多価的時空における幾何的制約から純粋に導けるか？
• RQ5 世界関数 σ が標準的なリーマン方程式 (8.1) を満たさない場合、計量場の記述およびその物理的解釈にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 変形原理により、波動関数や確率的仮定を導入せず、量子的効果を幾何的現象として自然に記述できる多価的幾何学が構築可能である。
• 1つの変数関数によってパrameter化される平面的で一様かつ等方的な時空幾何学の族が存在し、その中でミンコフスキー幾何学は唯一のメンバーにすぎず、大多数は時間的ベクトルに対して多価的である。
• 世界関数 σ(7.7) は、標準方程式 (8.1) を満たさないが、ミンコフスキーの計量テンソルと定数倍を除いて同一の計量テンソルを生成する非リーマン幾何学を定義する。
• |σ| ≫ |σ₀| の極限において、世界関数 σ は非自明な補正項を含む修正方程式 (8.2) を満たし、複雑で非局所的な計量場構造を示す。
• 得られる幾何学は、単一の点における計量テンソル場では模倣できない。代わりに、本質的に多価性を含む複雑な場の系を必要とし、量子的挙動に類似する。
• 幾何的アプローチにより、理論物理学におけるフィッティングの必要性が排除される。正しい世界関数 σ を選べば、予測は論理と幾何学そのものから導かれるのみで、経験的調整は不要になる。