[論文レビュー] Deformation Quantization of Surjective Submersions and Principal Fibre Bundles

Martin Bordemann, Nikolai Neumaier+2 more|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、全空間上の関数が底面の星積代数上の右加群として、主作用に関して不変となるように変形される、全射な部分被覆および主バンドルのための変形量子化フレームワークを導入する。主な結果は、このような変形の存在と一意性であり、特にシンプレクティックな設定において、非自明なチャーン類を有するとき、引き戻し写像を代数準同型に持ち上げることのできる障害が存在することである。

ABSTRACT

In this paper we establish a notion of deformation quantization of a surjective submersion which is specialized further to the case of a principal fibre bundle: the functions on the total space are deformed into a right module for the star product algebra of the functions on the base manifold. In case of a principal fibre bundle we require in addition invariance under the principal action. We prove existence and uniqueness of such deformations. The commutant within all differential operators on the total space is computed and gives a deformation of the algebra of vertical differential operators. Applications to noncommutative gauge field theories and phase space reduction of star products are discussed.

研究の動機と目的

• 全射な部分被覆および主バンドルの整合的な変形量子化を形式的星積を用いて定義すること。
• 変形が主群作用と整合するように、変形にG不変性を要求すること。
• 全空間上のこのような変形加群構造の存在と一意性を確立すること。
• 垂直微分作用素代数内の変形代数の中心化群を計算し、垂直微分作用素代数の変形をもたらすこと。
• 特に、底面多様体に非自明なラインバンドルが存在する場合に、引き戻し写像を代数準同型に持ち上げることのできる障害を特定すること。

提案手法

• 全空間上の滑らかな関数の代数に、底面多様体上の星積代数への右加群構造を与えることで、全射な部分被覆の変形量子化を定義する。
• 主作用に関して変形積がG不変となるように制約を課すことで、バンドル構造と整合性を保つ。
• 全空間上の滑らかな関数のトポロジカル・バー複体およびコシュール複体を用いて、変形コホモロジーを分析する。
• 全空間の微分作用素内の変形ベース代数の中心化群として、垂直微分作用素代数の変形代数を構成する。
• 関連するベクトルバンドルに理論を適用し、変形された自己準同型代数がモラータ同値性の双加群として現れることを示す。
• de Rhamコホモロジーにおけるチャーン類の障害を用いて、非自明なバンドルでは特定の持ち上げ代数準同型が存在しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主バンドルの変形量子化を、全空間上の関数が底面の星積代数上のG不変な右加群をなすように一貫して定義することは可能か？
• RQ2 底面から全空間への引き戻し写像が、変形された設定においてG-equivariantな代数準同型に持ち上げられるのはどのような条件下か？
• RQ3 全空間上の垂直微分作用素代数内における変形されたベース代数の中心化群の構造は何か？
• RQ4 シンプレクティックな設定において、第一チャーン類のようなトポロジカル不変量が、このような変形の存在をどのように妨げるか？
• RQ5 主バンドルから構成される関連ベクトルバンドルについて、変形された設定でもモラータ同値性が保たれるか？

主な発見

• 全射な部分被覆の変形量子化は存在し、一意的であり、全空間上の関数は底面の星積代数上のG不変な右加群をなす。
• 垂直微分作用素代数内における変形されたベース代数の中心化群は、古典的な垂直微分作用素代数の変形をもたらす。
• 底面にシンプレクティックな星積が存在する場合、主バンドルが十分に非自明である（非自明なラインバンドルが存在し、第一チャーン類が消えない）ならば、引き戻し写像をG-equivariantな代数準同型に持ち上げることは障害を受ける。
• 障害は、相対的な星積クラスに関する矛盾に起因する：一方では自明な表現から相対クラスが0である必要があるが、他方では非自明な表現から非0である必要があるため、同値性が破れる。
• ホープ・ファイブレーション $ S^3 \to S^2 $ は、非自明な $ c_1(L_n) = n c_1(L_1) \neq 0 $（$ n \neq 0 $）であるため、十分に非自明なバンドルの具体例を提供する。
• バンドルが非自明な場合、$ C^\infty(P)[[\lambda]] $ 上に、2つの異なる星積 $ \star $ と $ \star'_{M} $ に対してG不変な双加群構造を変形することはできない。これはチャーン類の不一致に起因する。