[論文レビュー] Deformation theory with homotopy algebra structures on tensor products

Daniel Robert-Nicoud|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Advanced Topics in Algebra被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、異なるoperadの代数のテンソル積およびコálgebraと代数間の写像空間に、自然なホモトピーLie代数構造とホモトピー結合的代数構造を確立し、古典的なManin積を一般化する。主な貢献は、$\sigma_{\infty}$から畳み込みoperadへの$Ψ$-誘導写像を用いた概念的枠組みであり、これにより写像の変形複体と変形理論における$∞$-群体の明示的モデルが可能になる。

ABSTRACT

In order to solve two problems in deformation theory, we establish natural structures of homotopy Lie algebras and of homotopy associative algebras on tensor products of algebras of different types and on mapping spaces between coalgebras and algebras. When considering tensor products, such algebraic structures extend the Lie algebra or associative algebra structures that can be obtained by means of the Manin products of operads. These new homotopy algebra structures are proven by to compatible with the concepts of homotopy theory: $\infty$-morphisms and the Homotopy Transfer Theorem. We give a conceptual interpretation of their Maurer-Cartan elements. In the end, this allows us to construct the deformation complex for morphisms of algebras over an operad and to represent the deformation $\infty$-groupoid for differential graded Lie algebras.

研究の動機と目的

• operad上の代数間の写像に対する変形複体を構成する問題を解決すること。
• Deligne–Hinich–Getzlerの$∞$-群体に対して、小かつホモトピー同値なKan複体モデルを提供すること。
• 古典的Manin積の構成を、operad的$ψ$-写像を介してホモトピー代数へ一般化すること。
• 新しい構造が$∞$-写像およびホモトピー移行定理と整合することを確立すること。
• Maurer–Cartan要素が新しいホモトピー代数構造の観点からどのように概念的に解釈できるかを明らかにすること。

提案手法

• dg-operad $\mathscr{Q} \to \mathscr{P}$ に対して、$\mathscr{Q}$ が増大的であると仮定し、$\mathsf{M}_{\Psi}: \mathscr{L}_{\infty} \to \mathscr{P} \otimes \Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$ なるoperadの写像を構成する。
• 関連する$\mathscr{Q}$および$\mathscr{P}$に依存するコoperadの畳み込みoperadを用い、$\mathrm{B}(\mathscr{S} \otimes \mathscr{Q})$-コ álgebraと$\mathscr{P}$-代数間の写像空間に$\mathscr{L}_{\infty}$-代数構造を導入する。
• ホモトピー移行定理を適用し、誘導された構造が$\infty$-写像と整合することを保証する。
• もし$\mathscr{Q}$が二項Koszulであれば、$\mathscr{Q}^!_{\infty}$の準自由な分解を活用し、明示的構成を可能にする。
• $\mathscr{P}$-代数と$\mathscr{Q}^!_{\infty}$-代数の間のテンソル積構造$\otimes^\Psi$を定義し、これにより$\mathscr{L}_{\infty}$-代数が得られる。
• モノイド$\widehat{\mathscr{P}}$を用いて完全な$\mathscr{P}$-代数構造を定義し、フィルター付きかつ完全な代数的モデルを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なるタイプの2つの代数のテンソル積に、自然なホモトピーLie代数構造をどのように与えることができるか？
• RQ2 ホモトピーLie代数のMaurer–Cartan要素の空間に対して、小かつホモトピー同値なDeligne–Hinich–Getzler構成と一致する正しい$\infty$-群体モデルは何か？
• RQ3 operad的写像を介して、厳密な代数からのManin積の構成は、どのようにホモトピー代数へ一般化されるか？
• RQ4 テンソル積および写像空間に誘導されたホモトピー代数構造は、$\infty$-写像およびホモトピー移行定理とどのように整合するか？
• RQ5 $Ψ$-誘導$\mathscr{L}_{\infty}$-代数構造の文脈において、Maurer–Cartan要素が果たす概念的役割は何か？

主な発見

• 本論文は、自然な写像$\mathsf{M}_{\Psi}: \mathscr{L}_{\infty} \to \mathscr{P} \otimes \Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$ を構成し、$\mathscr{P}$-代数と$\mathscr{Q}^!_{\infty}$-代数のテンソル積に自然な$\mathscr{L}_{\infty}$-代数構造を付与する。
• 二項Koszuloperad $\mathscr{Q}$ に対して、operad $\Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$ はKoszul解体$\mathscr{Q}^!_{\infty}$と同型であり、明示的構成を可能にする。
• 写像空間は、$\mathrm{B}(\mathscr{S} \otimes \mathscr{Q})$-コ álgebraと$\mathscr{P}$-代数間の畳み込みoperadにより、自然に$\mathscr{L}_{\infty}$-代数構造を有する。
• テンソル積および写像空間に誘導された$\mathscr{L}_{\infty}$-代数構造は、$\infty$-写像およびホモトピー移行定理と整合する。
• 構築された$\mathscr{L}_{\infty}$-代数のMaurer–Cartan要素は、$Ψ$-適合写像の代数的構造に対応し、概念的解釈を提供する。
• この枠組みにより、operad上の代数の写像に対する変形複体の構成が可能となり、Kontsevichが提示した問題が解決される。