[論文レビュー] Deformations of vector bundles on coisotropic subvarieties via the Atiyah class

Jeremy Pecharich|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数的ポアソン多様体のコイソトロピック部分多様体上でのベクトル束の非可換1次および2次変形のための基準を、アティヤ類を用いて確立する。非可換変形が曲がった微分 graded Lie 代数によって支配されることを示し、$H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) = 0$ の下で、$E \otimes L^\vee$ のアティヤ類が $H^1(Y, N(E))$ で消えることが、1次変形が存在するための必要十分条件である。これは古典的変形理論をポアソン設定に一般化するものである。

ABSTRACT

Using the Atiyah class we give a criterion for a vector bundle on a coisotropic subvariety, $Y$, of an algebraic Poisson variety $X$ to admit a first and second order noncommutative deformation. We also show noncommutative deformations of a vector bundle are governed by a curved dg Lie algebra which reduces to the classical relative Hochschild complex when the Poisson structure on $X$ is trivial.

研究の動機と目的

• 代数的ポアソン多様体におけるコイソトロピック部分多様体上のベクトル束の変形理論を拡張すること。
• コイソトロピック部分多様体上に存在するベクトル束が、1次および2次非可換変形をもつための条件を同定すること。
• 非可換変形が、ポアソン構造が自明なとき相対ホッフシュチルド複体に還元する曲がった dg Lie 代数によって支配されることを示すこと。
• このような変形の存在を特徴づけるコhomology的基準（アティヤ類を用いる）を提供すること。

提案手法

• $E \otimes L^\vee$ のアティヤ類を用いて、$H^1(Y, N(E))$ 内の写像 $at_N(E \otimes L^\vee)$ を定義する。
• スペクトル系列を用いて、$H^0(Y, \wedge^2 N(E))$、$H^1(Y, N(E))$、$H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E))$ における障害を分析する。
• 1次変形作用素 $\gamma$ の曲率を用いて定義される微分 $d_{N_E}$ を持つ、正規複体 $\mathcal{N}_E^\bullet$ を導入する。
• $\beta_1^X \equiv 0$ の仮定に依拠することで、余接バンドル $N^\vee$ 上の Lie 代数構造を単純化し、曲率 $c(\gamma)$ の定義を可能にする。
• 局所方程式 (A.1)–(A.8) を用いて、2次変形における加群作用と移行関数の整合性を記述する。
• Lemma A.1 および A.2 を適用し、$H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) = 0$ の仮定の下で、コycle条件を満たす微分作用素の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル束 $E$ がコイソトロピック部分多様体 $Y \subset X$ 上にあり、1次非可換変形をもつのはいつか？
• RQ2 アティヤ類は、このような変形の障害を特定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 非可換変形 $E$ は、多様体 $X$ 上のポアソン構造とどのように関係するか？
• RQ4 非可換変形 $E$ を支配する代数的構造は何か？
• RQ5 $H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E))$ の消えることは、変形の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 1次変形が存在するための必要十分条件は、$H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) = 0$ の下で、$at_N(E \otimes L^\vee) = 0$ が $H^1(Y, N(E))$ 内に成り立つことである。
• 多様体 $X$ および $Y$ がアフィンであるとき、$\mathcal{E}_1 \simeq E \oplus \epsilon E$ というグローバルに分解可能な変形が存在し、変形は移行条件を満たす作用素 $\gamma_E^i: N^\vee \to \mathcal{D}^1_\heartsuit(E)$ の集合によって分類される。
• 曲率 $c(\gamma)$ は、変形作用素 $\gamma$ が Lie 代数準同型でないことを測るものであり、2次変形のためには曲率が消えることが必要である。
• 非可換変形 $E$ は、曲がった dg Lie 代数によって支配され、ポアソン双ベクトル $P$ が消えると、古典的相対ホッフシュチルド複体に還元される。
• 1次変形の障害は $H^0(Y, \wedge^2 N(E))$ にあり、$Y$ がコイソトロピックであるときにかつそのときに限り消える。
• $H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) = 0$ の仮定により、移行関数のコycle条件が解消可能となり、グローバルな変形の構成が可能になる。