[論文レビュー] Degenerate Classical Field Theories and Boundary Theories

Dylan Butson, Philsang Yoo|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ記述のない場の理論を扱えるように、BV形式主義における退化した古典的場の理論の枠組みを構築する。境界条件を伴う体理論から境界理論を体系的に構成する手法を導入し、得られる体理論の普遍性を証明し、チェーン＝シモンズ理論、カプスチン＝ウィッテン理論、および新しい3次元理論（ウィットカー理論）といった重要な例にこの枠組みを適用する。

ABSTRACT

We introduce a framework for degenerate classical field theories in the BV formalism, which allows us to discuss many interesting examples of theories which do not admit a Lagrangian description. Further, we study phase spaces and boundary conditions for classical field theories on manifolds with boundary, and from a fixed classical field theory together with a choice of boundary condition, construct a degenerate classical field theory on the boundary. We apply these ideas to many physically interesting examples including the Kapustin-Witten twists of N=4 supersymmetric Yang-Mills, Chern-Simons theory, the chiral Wess-Zumino-Witten model, chiral Toda theory, and a new 3d classical field theory called Whittaker theory.

研究の動機と目的

• ラグランジュ記述のない退化した古典的場の理論をBV形式主義に拡張すること。
• 境界を持つ多様体上の古典的場の理論の位相空間および境界条件を定義すること。
• 与えられた体理論と境界条件から境界理論を構成し、境界上の観測可能量を記述すること。
• 任意の与えられた退化理論を、標準的境界条件の下で境界理論として再現できる、$N \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ 上の普遍的体理論を導入すること。
• 物理的および数学的に重要な例（Kapustin–Wittenのねじれ、チェーン＝シモンズ理論、チャーラル・トーダ理論など）へのこの枠組みの応用。

提案手法

• BV-BRST形式主義と導来シンプレクティック幾何学を用い、$L_{\infty}$代数およびシフトされたシンプレクティック構造によって古典的場の理論をモデル化する。
• 退化した古典的場の理論を記述するために、局所的ホモトピー $(-1)$-シフトされたポアソン構造を導入する。
• 場の配置と変形を記述するために、導来モジュライ問題およびモーラー＝カルタン関手の概念を適用する。
• 特に $(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造を用いた $n$-シフトされたシンプレクティック形式モジュライ問題におけるラグランジュ交叉を通じて、境界理論を構成する。
• 場の配置のモジュライ空間の接複体をモデル化するために、チェバレフ＝アイレンベルクコホホモロジー複体を用いる。
• 普遍的体理論を、退化境界理論を半空間 $N \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ に標準的に拡張したものとして定義し、このような拡張のうち普遍的性質を有するものとして特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ記述のない古典的場の理論を、BV形式主義内で体系的にどのように定式化できるか？
• RQ2 境界を持つ多様体上の古典的場の理論の位相空間および境界条件の正確な数学的構造は何か？
• RQ3 与えられた体理論と境界条件から、どのように境界理論を構成できるか。また、この境界理論が満たす性質は何か？
• RQ4 与えられた退化した古典的場の理論を境界理論として再現できる普遍的体理論とは何か？
• RQ5 この枠組みは、チェーン＝シモンズ理論、カプスチン＝ウィッテン理論、チャーラル・トーダ理論といった既知の物理理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 境界条件を選びることで、体理論の境界上に退化した古典的場の理論を構成し、境界付近の局所的観測可能量を記述する。
• 任意の多様体 $N$ 上の退化した古典的場の理論に対して、$N \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ 上に普遍的な古典的場の理論が存在し、標準的境界条件の下で得られる境界理論が $N$ 上の元の理論と同型であることを証明する。
• この枠組みは既知の場の理論の関係を回復する：例えば、$S$-双対境界条件の下で、ウィットカー理論はカプスチン＝ウィッテン理論の境界理論として現れる。
• チェーン＝シモンズ理論への適用では、境界理論がアフィン・カク＝ムーディのポアソン・バーテックス代数として得られ、チャーラル・トーダ理論への適用では、境界理論が古典的アフィン $\mathcal{W}$-代数として得られる。
• 本稿は、カプスチン＝ウィッテン理論の境界理論として現れる新しい3次元場の理論（ウィットカー理論）を新たに提示し、幾何的表現論と関連づける。
• Euler–Lagrange方程式の解の導来モジュライ空間は、$0$-シフトされたシンプレクティック空間におけるラグランジュ交叉を通じて、$(-1)$-シフトされたシンプレクティック空間として実現される。