[論文レビュー] Degenerations and mirror contractions of Calabi-Yau complete intersections via Batyrev-Borisov Mirror symmetry

Anvar R. Mavlyutov|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、バティレブ＝ボリスョフ鏡像対称性フレームワークを用いて、カルラヤ・完全交差と正則カルラヤ超曲面の間の幾何的遷移を確立する。ミンコフスキー和分解のカイレー錐の双対内に反射的ポリトープを構成することで、完全交差を超曲面に退化させるネフ分割を同定し、双対ネフ分割とモジュライ空間の包含関係を用いて対応する鏡像収縮を計算する。

ABSTRACT

We show that the dual of the Cayley cone, associated to a Minkowski sum decomposition of a reflexive polytope, contains a reflexive polytope admitting a nef-partition. This nef-partition corresponds to a Calabi-Yau complete intersection in a Gorenstein Fano toric variety degenerating to an ample Calabi-Yau hypersurface in another Fano toric variety. Using the Batyrev-Borisov mirror symmetry construction, we found the mirror contraction of a Calabi-Yau complete intersection to the mirror of the ample Calabi-Yau hypersurface.

研究の動機と目的

• ゴレンシュタイン・ファン多様体上のトーリック多様体におけるカルラヤ完全交差から、正則カルラヤ超曲面への幾何的遷移を確立すること。
• 反射的ポリトープのミンコフスキー和分解に関連するカイレー錐の双対内に、反射的ポリトープを特定すること。
• この反射的ポリトープ上に、退化するカルラヤ完全交差に対応するネフ分割を構成すること。
• バティレブ＝ボリスョフ双対性を用いて、完全交差の鏡像を、結果として得られる超曲面の鏡像に移す収縮を実現すること。
• コンパクト化された2次的ファンに起因する包含関係を通じて、複素構造およびケーラー構造モジュライ空間への包含関係を記述すること。

提案手法

• ミンコフスキー和分解の反射的ポリトープに関連して、カイレー錐構成を用いて、高次元のファン多様体を関連付ける。
• カイレー錐の双対内に、元のポリトープと標準基底ベクトルを含むスケーリングされた凸包に同型な反射的ポリトープを特定する。
• 不等式 ⟨Δi,∇j⟩ ≥ −δij (すべての i,j に対して) を用いて、双対ネフ分割を定義することで、バティレブ＝ボリスョフ鏡像対称性構成を適用する。
• 完全交差の鏡像を、双対ファン多様体内の超曲面の最大限のプロジェクト的クリープント部分解体として実現する。
• 2次的ファンによるコンパクト化されたモジュライ空間を用いて、退化および収縮に対応する複素構造およびケーラー構造モジュライ空間の包含関係を記述する。
• 複素構造の退化族と鏡像のケーラー構造の間の鏡像写像を関係づける可換図式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゴレンシュタイン・ファン多様体上のトーリック多様体におけるカルラヤ完全交差が、カイレー錐の双対内のネフ分割を介して、正則カルラヤ超曲面へと退化可能か？
• RQ2 カイレー錐の双対内に、そのような退化を実現するネフ分割を許容する反射的ポリトープが存在するか？
• RQ3 バティレブ＝ボリスョフ鏡像対称性構成は、完全交差の鏡像と結果として得られる超曲面の鏡像との間でどのように関係づけられるか？
• RQ4 退化族の複素構造モジュライと鏡像族のケーラー構造モジュライとの間の幾何的関係は何か？
• RQ5 モジュライ空間の包含関係は、鏡像対称性フレームワーク内での退化および収縮プロセスをどのように反映するか？

主な発見

• カイレー錐の双対内には、(k+1)Conv(Δ0, Δ1+e1, ..., Δk+ek) − ∑ei に同型な反射的ポリトープが存在し、これはカルラヤ完全交差に対応するネフ分割を許容する。
• このネフ分割は、別のファン多様体内の正則カルラヤ超曲面へのカルラヤ完全交差の退化を引き起こす。
• 完全交差の鏡像は、鏡像超曲面の最大限のプロジェクト的クリープント部分解体として実現され、ストリング的ホッジ数が保存される。
• 幾何的遷移は、コンパクト化されたモジュライ空間の包含関係を誘発する：M(Y′′Δ∗)poly ⊂ M(Y′ˆ∇0,…,ˆ∇k)poly および K(Y′ˆ∇0,…,ˆ∇k)toric ⊂ K(Y′′Δ∗)toric。
• モジュライ空間間の鏡像写像は可換図式に適合し、複素側に退化、ケーラー側に収縮が対応する。
• モジュライ空間の包含関係は、それぞれのポリトープに付随する2次的ファンの包含関係を通じて明示的に記述される。