[論文レビュー] Derived categories of Quot schemes of locally free quotients

Qingyuan Jiang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 65被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、関手 $ F $ が滑らかでアフィンな $ S $-スキーム $ H_S $ によって表現可能であることを確立し、$ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee $ 上の対称代数の相対スペクトルとして構成される。また、$ H_S $ 上の同一視射 $ \tau $ が $ \mathscr{W} $ から $ \mathscr{V} $ への準同型を普遍的にコ表現することを証明する。主な貢献は、この滑らかなパrameter空間を用いた、導来 Quot スキームの幾何的実現である。

ABSTRACT

This paper studies the derived category of the Quot scheme of rank $d$ locally free quotients of a sheaf $\mathscr{G}$ of homological dimension $\le 1$ over a scheme $X$. In particular, we propose a conjecture about the structure of its derived category and verify the conjecture in various cases. This framework allows us to relax certain regularity conditions on various known formulae -- such as the ones for blowups (along Koszul-regular centers), Cayley's trick, standard flips, projectivizations, and Grassmannain-flips -- and supplement these formulae with the results on mutations and relative Serre functors. This framework also leads us to many new phenomena such as virtual flips, and structural results for the derived categories of (i) $\mathrm{Quot}_2$ schemes, (ii) flips from partial desingularizations of $\mathrm{rank}\le 2$ degeneracy loci, and (iii) blowups along determinantal subschemes of codimension $\le 4$.

研究の動機と目的

• 局所自由な商をパラメータ化する関手の幾何的構成を、表現可能な関手を用いて行う。
• 関手 $ H_S $ が $ \mathscr{W} $ から $ \mathscr{V} $ への準同型をパラメータ化するホムスキームとして滑らかで表現可能であることを確立する。
• $ H_S $ 上の同一視射 $ \tau $ が、任意の $ T \to S $ に対して $ \mathscr{W}_T $ から $ \mathscr{V}_T $ への準同型を普遍的にコ表現することを示す。
• この滑らかなパrameter空間を通じて、Quot スキームの導来的カテゴリカル解析の基盤を築く。

提案手法

• 関手 $ F $ を $ H_S := \underline{\operatorname{Spec}}_S(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee)) $ として表現し、これは $ S $ に対して滑らかであることを示す。
• 自然な準同型 $ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee \to \operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee) $ を用いて、$ \mathscr{W}_{H_S} \to \mathscr{V}_{H_S} $ の同一視射 $ \tau $ を構成する。
• 相対スペクトルの普遍性を用いて、任意の準同型 $ \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathscr{O}_T}(\mathscr{W}_T, \mathscr{V}_T) $ に対して、一意な $ S $-準同型 $ g_\sigma: T \to H_S $ を誘導する。
• $ g_\sigma^*\tau = \sigma $ であることを検証し、$ \tau $ の普遍的コ表現を確認する。
• $ H_S $ の滑らかさを活用して、導来的解析に適した幾何的およびカテゴリカル的性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関手 $ \mathscr{V} $ から $ \mathscr{W} $ を用いて局所自由な商をパラメータ化する関手を、どのように幾何的に表現できるか？
• RQ2 $ \mathscr{W} $ から $ \mathscr{V} $ への準同型をコリプレセントするスキーム $ H_S $ の構造は何か？
• RQ3 $ H_S $ 上の同一視射 $ \tau $ は、任意の準同型 $ \sigma: \mathscr{W}_T \to \mathscr{V}_T $ とどのように関係するか？
• RQ4 $ H_S $ の幾何的性質、特に滑らかさは何か？

主な発見

• 関手 $ F $ は、滑らかでアフィンな $ S $-スキーム $ H_S = \underline{\operatorname{Spec}}_S(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee)) $ によって表現可能である。
• 同一視射 $ \tau: \mathscr{W}_{H_S} \to \mathscr{V}_{H_S} $ は、自然な写像 $ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee \to \operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee) $ によって誘導される。
• 任意の $ T \to S $ および準同型 $ \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathscr{O}_T}(\mathscr{W}_T, \mathscr{V}_T) $ に対して、$ g_\sigma^*\tau = \sigma $ を満たす一意な $ S $-準同型 $ g_\sigma: T \to H_S $ が存在する。
• スキーム $ H_S $ は $ S $ に対して滑らかであり、導来的カテゴリカル構成に適した良好な幾何的挙動を保証する。