[論文レビュー] Design of origami structures with curved tiles between the creases

Huan Liu, Richard D. James|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2023

Advanced Materials and MechanicsEngineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、折り目間の曲がったタイルに弾性エネルギーを蓄える曲がり origami 構造の設計のためのラグランジュ枠組みを提示する。等長写像と群軌道法を用い、適合性に関する一般定理を導出し、$h^3$ スケーリングを用いたエネルギー計算を可能にするとともに、コンフォーマル群に基づく設計が、シリンダーやコーンにおける実験的座屈パターンを、古典的パターンよりもよく再現することを示している。

ABSTRACT

An efficient way to introduce elastic energy that can bias an origami structure toward desired shapes is to allow curved tiles between the creases. The bending of the tiles supplies the energy and the tiles themselves may have additional functionality. In this paper, we present the theorem and systematic design methods for quite general curved origami structures that can be folded from a flat sheet, and we present methods to accurately find the stored elastic energy. Here the tiles are allowed to undergo curved isometric mappings, and the associated creases necessarily undergo isometric mappings as curves. These assumptions are consistent with a variety of practical methods for crease design. The h^3 scaling of the energy of thin sheets (h = thickness) spans a broad energy range. Different tiles in an origami design can have different values of h, and individual tiles can also have varying h. Following developments for piecewise rigid origami, we develop further the Lagrangian approach and the group orbit procedure in this context. We notice that some of the simplest designs that arise from the group orbit procedure for certain helical and conformal groups provide better matches to the buckling patterns observed in compressed cylinders and cones than known patterns.

研究の動機と目的

• 平坦なシートから折りたためることが可能な曲がったタイルを有する曲がり origami 構造を体系的に設計するための方法を開発すること。
• 曲がったタイルの曲げに起因する弾性エネルギーが、origami の折りたたみ行動やエネルギー・ランドスケープに与える影響についての理解の不足を解消すること。
• 群軌道法を等長変形に拡張し、複雑で適合性を満たす origami パatters の体系的生成を可能にすること。
• キルヒホフの非線形板理論と $h^3$ スケーリングを用いて、曲がったタイル内の弾性エネルギーを計算するための枠組みを提供すること。
• 理論的曲がり origami パatters と、薄肉シリンダーやコニカルシェルにおける観察された座屈との関係を調査すること。

提案手法

• 平坦な基準配置から折りたたまれた状態における曲がったタイルを有する変形 ${\bf y}({\bf x})$ を定義するラグランジュ的アプローチを構築する。
• 微分幾何学を用いて、曲面の母線、折り目、および等長写像の公式を導出する。
• 変形勾配 $\bf{F}_i$ と反射行列 $\bf{P}_i$ を用い、$\bf{F}_1 = \bf{P}_1\bf{P}_2\dots\bf{P}_n\bf{F}_1$ の関係により、折り目を越えて適合性を強制する。
• ヘリカル、円、平行移動、コンフォーマル群を用いた群軌道手順を導入し、対称的かつ適合性を満たす曲がり origami パターンを生成する。
• 等長性を保ちつつ変形をスケーリングするコンフォーマル群変換を適用し、新たなパターン族の生成を可能にする。
• キルヒホフの非線形板理論を用いて、接線発展面に対してエネルギー式 $\mathcal{E}_{\cal S} = \frac{Eh^3}{24}\int \frac{\tau^2}{\kappa}\log(v_2/v_1)\,ds$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がったタイルを有する曲がり origami 構造を、折りたたみ中に幾何的適合性を保証できるように体系的に設計する方法は何か？
• RQ2 厚さ $h$ が曲がったタイルに蓄えられる弾性エネルギーに与える役割は何か？また、$h^3$ スケーリングは設計の柔軟性にどのように影響するか？
• RQ3 等長性およびコンフォーマル群に基づく群軌道法は、現実の座屈現象をよりよく再現する新しい曲がり origami パターンを生成できるか？
• RQ4 母線と変形勾配に基づくラグランジュ形式は、折り目を越えて連続性と適合性をどのように保証するか？
• RQ5 コンフォーマル群に基づく origami パターンは、圧縮されたシリンダーやコニカルシェルにおける観察された座屈パターンと、どの程度類似しているか？

主な発見

• 閉ループ上での反射行列の積が単位行列に等しいことが、適合性を満たす曲がり origami 構造を特徴付ける一般定理が証明された。これは、タイルの数が偶数である必要があることを示唆する。
• 群軌道法は、ヘリカル、円、およびコンフォーマル群を用いて、複雑で対称的な曲がり origami パターンを効果的に生成した。特に、コンフォーマル群は、圧縮されたシェルにおける実験的座屈をよく再現するパターンを生成した。
• 曲がったタイルに蓄えられるエネルギーは $\mathcal{E}_{\cal S} = \frac{Eh^3}{24}\int \frac{\tau^2}{\kappa}\log(v_2/v_1)\,ds$ で与えられ、$h^3$ スケーリングにより、厚さの変更によってエネルギー・ランドスケープを広く調整可能である。
• ミウラパターンの曲がったタイルへの一般化を構築し、厚さ制御による適合性とエネルギーの調整可能性を示した。
• コンフォーマル群に基づく設計は、自然の形（例：海生生物）や、圧縮されたシリンダーやコーンにおける座屈パターンと顕著に類似しており、古典的 Yoshimura パターンを上回る一致度を示した。
• 今後の分岐および座屈研究のための明示的なテスト関数を提供し、計算可能なエネルギー・ランドスケープを実現した。