[論文レビュー] Determining a piecewise conductive medium body by a single far-field measurement

Xinlin Cao, Huaian Diao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、横磁気（TM）偏光下で、1つの遠方場測定のみを用いて、多角形ネストまたは多角形セル構造を持つ2次元の区分的導電性媒体体の同定に関して、初めての一意性結果を確立する。コーナー特異性解析と再帰的層ごとの同定法を活用することで、内部の導電率および界面透過パラメータが、1つの遠方パターンから一意に特定可能であることを証明する。

ABSTRACT

We are concerned with the inverse problem of recovering a conductive medium body. The conductive medium body arises in several applications of practical importance, including the modeling of an electromagnetic object coated with a thin layer of a highly conducting material and the magnetotellurics in geophysics. We consider the determination of the material parameters inside the body as well as on the conductive interface by the associated electromagnetic far-field measurement. Under the transverse-magnetic polarisation, we derive two novel unique identifiability results in determining a 2D piecewise conductive medium body associated with a polygonal-nest or a polygonal-cell geometry by a single active or passive far-field measurement.

研究の動機と目的

• 電磁像の分野における重要な挑戦である、1つの遠方場測定からの導電性媒体体の回復という逆問題に取り組む。
• コーティングされた物体や地球物理学的構造をモデル化する多角形幾何構造を有する区分的導電性媒体の同定の一意性結果を確立する。
• 1つの遠方パターンから、内部の材料パラメータ（導電率）および界面透過パラメータ（λ）の両方を同定することを目的とする。
• 滑らかでない境界、特にコーナーを有するものに対する逆散乱理論の適用範囲を拡張することを目的とする。
• 限られた遠方場データを用いたコーティング済みまたは層状導電体の非侵襲的像の理論的基盤を提供することを目的とする。

提案手法

• 薄く高導電性のコーティング層を有するマクスウェル系を用いて散乱問題を定式化し、界面での伝達条件を導出する。
• 横磁気（TM）偏光を用いて3次元問題を2次元に簡略化し、境界上に導電伝達条件を有するヘルムホルツ系を導出する。
• コーナー特異性解析を適用して、幾何的および材料的不連続性を特定する上で重要なエッジおよび頂点の存在を検出する。
• 再帰的層ごとの同定法を用いる：外側の層から順に同定を開始し、遠方場データによって波動場およびパラメータが一意に決定可能であることを証明する。
• 矛盾法と補題3.2による解析接続を用いて、一致する遠方場パターンは同一の幾何構造および材料パラメータを意味することを示す。
• 幾何構造またはパラメータが一致しない場合、特にコーナー頂点における振る舞いを通じて遠方場データと矛盾が生じることを示し、一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの遠方場測定が、多角形構造を有する区分的導電性媒体体の幾何構造および材料パラメータを一意に特定可能か？
• RQ2 導電性媒体体にコーナーが存在する場合、その内部および界面パラメータの同定性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 1つの遠方パターンから、導電伝達条件および関連する界面パラメータをどの程度まで回復可能か？
• RQ4 入射源や励起波の事前知識がなくても、内部導電率および界面パラメータを一意に再構成可能か？
• RQ5 多角形ネストまたは多角形セル構造を越えて、より一般的な導電性媒体に対しても一意性結果を拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、1つの遠方場測定から、内部導電率 $ q $ および界面透過パラメータ $ u $ を含む、全体の区分的導電性媒体体の一意同定可能性を証明する。
• 多角形ネスト幾何構造では、外側から内側へ層ごとに再帰的に同定が可能であり、一致する遠方場パターンは同一の幾何構造およびパラメータを意味することを保証する。
• 証明は、許容される条件下で非ゼロの波動場がコーナー頂点で消失することはできない、という事実に依拠しており、幾何構造が異なる場合に矛盾が生じることを示す。
• 入射源や励起波が事前に分かっていなくても、その支持集合が導電界面から離れている限り、一意性結果は成立する。
• アプローチは入射波の選択に強く依存せず、主に遠方場データおよびコーナー特異性の振る舞いに依存するため、ロバストである。
• 源がコンパクトに台形であり、界面から分離されている限り、被動散乱問題（内部源あり）に対しても結果を拡張可能である。