[論文レビュー] Deterministic Graph Cuts in Subquadratic Time: Sparse, Balanced, and k-Vertex

Yu Gao, Jason Li+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 80被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平衡スパースカットおよびk-頂点連結性を計算する最初の決定的アルゴリズムを、サブクアドラティック時間で提示する。長年の2次時間の壁を破った。カット・マッチングゲームの新規な変種、拡張子に基づくスパarsification、およびPageRank行列とJ-ツリーを活用する再帰的アプローチを組み合わせることで、スパースグラフにおける平衡スパースカットに対してO(m^{1.5+o(1)})の時間計算量を達成し、k = O(polylog n)のときk-頂点連結性についてもサブクアドラティック時間で処理可能となる。

ABSTRACT

We study deterministic algorithms for computing graph cuts, with focus on two fundamental problems: balanced sparse cut and $k$-vertex connectivity for small $k$ ($k=O(\polylog n)$). Both problems can be solved in near-linear time with randomized algorithms, but their previous deterministic counterparts take at least quadratic time. In this paper, we break this bound for both problems. Interestingly, achieving this for one problem crucially relies on doing so for the other. In particular, via a divide-and-conquer argument, a variant of the cut-matching game by [Khandekar et al.`07], and the local vertex connectivity algorithm of [Nanongkai et al. STOC'19], we give a subquadratic time algorithm for $k$-vertex connectivity using a subquadratic time algorithm for computing balanced sparse cuts on sparse graphs. To achieve the latter, we improve the previously best $mn$ bound for approximating balanced sparse cut for the whole range of $m$. This starts from (1) breaking the $n^3$ barrier on dense graphs to $n^{ω+ o(1)}$ (where $ω< 2.372$) using the the PageRank matrix, but without explicitly sweeping to find sparse cuts; to (2) getting the $ ilde O(m^{1.58})$ bound by combining the $J$-trees by [Madry FOCS `10] with the $n^{ω+ o(1)}$ bound above, and finally; to (3) getting the $m^{1.5 + o(1)}$ bound by recursively invoking the second bound in conjunction with expander-based graph sparsification. Interestingly, our final $m^{1.5 + o(1)}$ bound lands at a natural stopping point in the sense that polynomially breaking it would lead to a breakthrough for the dynamic connectivity problem.

研究の動機と目的

• 基本的グラフカット問題における、確率的近線形時間アルゴリズムと決定的2次時間アルゴリズムの間の長年のギャップを埋める。
• スパースグラフにおける、平衡スパースカットおよびk-頂点連結性のための最初の決定的サブクアドラティックアルゴリズムを開発する。
• k-頂点連結性を解くことと、低導通率のバランスの取れたカットを計算することとの間のきつい相関関係を確立することで、これを達成する。
• すべてのグラフ密度において、平衡スパースカットの近似のためのm·nの境界を打ち破り、最終的にO(m^{1.5+o(1)})時間のアルゴリズムに到達する。
• O(m^{1.5+o(1)})の境界をさらに改善することは、動的連結性問題における画期的進展を意味することを示す。

提案手法

• 近似された低導通率カットをサブルーチンとして用いる、決定的カット・マッチングゲームの新規な変種を設計する。
• 拡張子に基づくグラフスパースフィケーションを用いて、重要なカット特性を保持したまま、再帰的にグラフサイズを縮小する。
• 密度の高いグラフにおいて、PageRank行列を用いて低導通率カットをn^{ω+o(1)}時間で計算する。ここでω < 2.372である。
• J-ツリーとPageRankに基づく手法を組み合わせることで、スパースグラフに対してO(m^{1.58})の時間計算量を達成する。
• 分割統治戦略を用いて、k-頂点連結性を複数の平衡スパースカット計算に還元する。
• 再帰的フレームワークのコアプリミティブとして、Nanongkaiら（STOC’19）の局所的頂点連結性アルゴリズムを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平衡スパースカットおよびk-頂点連結性のための決定的アルゴリズムを、サブクアドラティック時間で計算可能か？
• RQ2 拡張子埋め込みとボリュームベース解析を用いた、効率的な決定的計算を可能にする頂点カットの構造的性質は何か？
• RQ3 低導通率カット近似を用いて、決定的に動作するようにカット・マッチングゲームをどのように変更できるか？
• RQ4 動的連結性問題などの他の問題における画期的進展に対応する、平衡スパースカット計算の自然な計算量の閾値は存在するか？
• RQ5 頂点拡張率とエッジ導通率の相乗効果を活用して、決定的サブクアドラティックアルゴリズムを導出可能か？

主な発見

• 本稿では、スパースグラフにおける最もバランスの取れた低導通率カットの計算に対して、O(m^{1.5+o(1)})の時間計算量を達成し、従来のO(mn)の境界を改善した。
• 密度の高いグラフでは、ω < 2.372の条件下でn^{ω+o(1)}時間で実行され、平衡スパースカット近似のn^3の壁を破った。
• k-頂点連結性（k = O(polylog n)）のためのサブクアドラティック時間アルゴリズムは、平衡スパースカット計算への分割統治的還元によって達成された。
• 最終的なm^{1.5+o(1)}の境界は、自然な停止点であることが示された。この境界をさらに改善することは、動的連結性問題における画期的進展を意味する。
• アルゴリズムはΩ(β)-バランスおよびΩ(Φ_in)-拡張性を維持しており、計算されたカットが両方バランスが取れて低導通率であることを保証する。
• 解析により、得られたカットの頂点拡張率が元の導通率のΩ(Φ_G^{in})倍であることが証明され、カットの品質が保持された。