[論文レビュー] Computing and Testing Small Vertex Connectivity in Near-Linear Time and Queries

Danupon Nanongkai, Thatchaphol Saranurak+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、O(νk²)時間で局所的頂点連結性を計算する確率的モンテカルロアルゴリズムを提示する。k = O(√ν)のとき、従来の確定的境界O(ν¹·⁵k polylog(νk))に比べて顕著に改善される。この手法により、無向グラフにおけるk-頂点連結性の最初の近似線形時間アルゴリズムが実現可能となり、4 ≤ k ≤ polylog nの範囲でÕ(m + nk³)の時間で動作する。これは1974年にAho, Hopcroft, および Ullmanが提起した長年の未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

We present a new, simple, algorithm for the local vertex connectivity problem (LocalVC) introduced by Nanongkai~et~al. [STOC'19]. Roughly, given an undirected unweighted graph $G$, a seed vertex $x$, a target volume $ν$, and a target separator size $k$, the goal of LocalVC is to remove $k$ vertices `near' $x$ (in terms of $ν$) to disconnect the graph in `local time', which depends only on parameters $ν$ and $k$. In this paper, we present a simple randomized algorithm with running time $O(νk^2)$ and correctness probability $2/3$. Plugging our new localVC algorithm in the generic framework of Nanongkai~et~al. immediately lead to a randomized $ ilde O(m+nk^3)$-time algorithm for the classic $k$-vertex connectivity problem on undirected graphs. ($ ilde O(T)$ hides $ ext{polylog}(T)$.) This is the first near-linear time algorithm for any $4\leq k \leq ext{polylog} n$. Previous fastest algorithm for small $k$ takes $ ilde O(m+n^{4/3}k^{7/3})$ time [Nanongkai~et~al., STOC'19]. This work is inspired by the algorithm of Chechik~et~al. [SODA'17] for computing the maximal $k$-edge connected subgraphs. Forster and Yang [arXiv'19] has independently developed local algorithms similar to ours, and showed that they lead to an $ ilde O(k^3/ε)$ bound for testing $k$-edge and -vertex connectivity, resolving two long-standing open problems in property testing since the work of Goldreich and Ron [STOC'97] and Orenstein and Ron [Theor. Comput. Sci.'11]. Inspired by this, we use local approximation algorithms to obtain bounds that are near-linear in $k$, namely $ ilde O(k/ε)$ and $ ilde O(k/ε^2)$ for the bounded and unbounded degree cases, respectively. For testing $k$-edge connectivity for simple graphs, the bound can be improved to $ ilde O(\min(k/ε, 1/ε^2))$.

研究の動機と目的

• k ≥ 4の無向グラフにおけるk-頂点連結性の近似線形時間アルゴリズムを達成するという、長年の未解決問題に取り組む。
• νとkに近似線形依存性を有する、より高速な局所的頂点連結性アルゴリズムを設計し、2/3の正しさ確率でO(νk²)時間で動作させ、従来のO(ν¹·⁵k polylog(νk))の確定的手法を改善する。
• k-頂点連結性およびk-辺連結性の性質テストを、kとεに近似線形依存性で効率的に行う。
• フレームワークを有向グラフに拡張し、(1+ε)-近似をより高速に達成する。
• 局所的近似アルゴリズムを活用して、特に有界および無限大次数モデルにおいて、性質テストにおける近最適な境界を導出する。

提案手法

• 種々の頂点xの近くで体積がν未満の小さな頂点カットを求めるという、局所的頂点連結性（LocalVC）問題に対する、革新的な確率的アルゴリズムを導入する。
• 局所的構造を保持し、効率的な計算を可能にする変換を用いて、頂点連結性問題を連結性問題に還元する。
• パラメータνとギャップ = k−1を用いたギャップベースの局所アルゴリズム（GapLocalVC）を用い、O(νk²)時間でk未満の頂点カットを検出する。
• 左部分集合が小さい分離三元組(L,S,R)の上でのサンプリング技術を適用し、k-頂点連結性からε-遠く離れたグラフの割合を推定する。
• 構造的補題（例：左部分集合が互いに素で小さい場合のLemma 6.13、体積分布に関するLemma 6.15）を活用して、有効なカットを検出する確率を抑え込む。
• 一般フレームワーク内に局所アルゴリズムを統合し、グローバルなk-頂点連結性計算をÕ(m + nk³)時間で達成する。正しさの確率は繰り返しによって強化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 νとkに近似線形依存性を有する、より高速な局所的頂点連結性アルゴリズムを設計可能か？特にkがνに比べて小さい場合に有効か？
• RQ2 k ≥ 4の無向グラフにおけるk-頂点連結性の近似線形時間アルゴリズムを達成可能か？Aho, Hopcroft, および Ullmanの1974年の予想を解決できるか？
• RQ3 局所アルゴリズムを有向グラフに拡張し、(1+ε)-近似をより高速に達成可能か？
• RQ4 有界および無限大次数モデルにおけるk-頂点連結性およびk-辺連結性の性質テストの最適なクエリ数および時間の境界は何か？
• RQ5 局所的近似アルゴリズムを用いて、特に単純グラフにおいて、kとεに近似線形の境界を導出可能か？

主な発見

• 提案された確率的アルゴリズムは、2/3の正しさ確率でO(νk²)時間で動作し、k = O(√ν)のとき、従来の確定的O(ν¹·⁵k polylog(νk))手法を上回る性能を発揮する。
• このアルゴリズムにより、無向グラフにおけるk-頂点連結性の最初の近似線形時間解法が実現可能となり、4 ≤ k ≤ polylog nの範囲でÕ(m + nk³)の時間で動作する。
• 性質テストにおいて、有界次数モデルではÕ(k/ε)、無限大次数モデルではÕ(k/ε²)のクエリ境界を達成する。
• 単純グラフの場合、k-辺連結性テストの境界はÕ(min(k/ε, 1/ε²))に改善され、文献で知られている最良の境界と一致する。
• フレームワークにより、ForsterとYangが別個に指摘した2つの長年の性質テストの未解決問題が解決されたが、本研究では頂点連結性近似に拡張している。
• アルゴリズムの正しさ確率は、繰り返しO(log δ⁻¹)回行うことで1−δに強化可能であり、同じ時間計算量（多項式対数要因を除いて）を維持する。