[論文レビュー] Deterministic Partially Dynamic Single Source Shortest Paths in Weighted Graphs

Aaron Bernstein|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、重み付き無向グラフにおけるデタッチメント単一始点最短経路の決定的アルゴリズムとして、長年の $O(mn)$ 総更新時間の上限を打ち破った最初のものである。階層的頂点クラスタリングと近似距離の維持を特徴とする新しいスケーリングベースのアプローチを導入することで、$ ilde{O}(n^2 "log W)$ の総更新時間に到達し、重み付きグラフにおける決定的動的最短経路分野において顕著な前進を遂げた。

ABSTRACT

In this paper we consider the decremental single-source shortest paths (SSSP) problem, where given a graph $G$ and a source node $s$ the goal is to maintain shortest distances between $s$ and all other nodes in $G$ under a sequence of online adversarial edge deletions. In their seminal work, Even and Shiloach [JACM 1981] presented an exact solution to the problem in unweighted graphs with only $O(mn)$ total update time over all edge deletions. Their classic algorithm was the state of the art for the decremental SSSP problem for three decades, even when approximate shortest paths are allowed. A series of results showed how to improve upon $O(mn)$ if approximation is allowed, culminating in a recent breakthrough of Henzinger, Krinninger and Nanongkai [FOCS 14], who presented a $(1+ε)$-approximate algorithm for undirected weighted graphs whose total update time is near linear: $O(m^{1+o(1)}\log(W))$, where $W$ is the ratio of the heaviest to the lightest edge weight in the graph. In this paper they posed as a major open problem the question of derandomizing their result. Until very recently, all known improvements over the Even-Shiloach algorithm were randomized and required the assumption of a non-adaptive adversary. In STOC 2016, Bernstein and Chechik showed the first \emph{deterministic} algorithm to go beyond $O(mn)$ total update time: the algorithm is also $(1+ε)$-approximate, and has total update time $ ilde{O}(n^2)$. In SODA 2017, the same authors presented an algorithm with total update time $ ilde{O}(mn^{3/4})$. However, both algorithms are restricted to undirected, unweighted graphs. We present the \emph{first} deterministic algorithm for \emph{weighted} undirected graphs to go beyond the $O(mn)$ bound. The total update time is $ ilde{O}(n^2 \log(W))$.

研究の動機と目的

• 重み付き無向グラフにおける決定的デタッチメント単一始点最短経路の $O(mn)$ 総更新時間のボトルネックを克服すること。
• 従来、無重みグラフまたは確率的設定でのみ達成可能であった、準二次以下の総更新時間を持つ決定的解法を提供すること。
• 辺の削除および重みの増加に対して、定数時間のクエリで $(1+\epsilon)$-近似最短経路距離を維持すること。
• 重み付きグラフにおけるデタッチメント SSSP の近似線形時間アルゴリズムの確率的でない（derandomized）化という未解決問題を解消すること。
• 一般の重み付き無向グラフにまで、従来の無重みグラフや確率的アルゴリズムの範囲を超えて、最先端技術を拡張すること。

提案手法

• 辺の重みレベルと動的頂点コンポーネントに基づく階層的クラスタリング方式を導入し、距離の近似を管理する。
• 距離をパrameter $\tau = n/(\epsilon d)$ に基づいてスケーリングすることで、誤差の伝搬を制御する。
• コンポーネントの辺と $\tau$-軽量元の辺を含む動的補助グラフ $G_\tau^s$ を使用し、辺の重みを $\beta$ でスケーリングすることで複雑性を低減する。
• 層状データ構造を用いて、$\epsilon$-誤差バウンドを満たす近似距離 $\textbf{dist}_\tau^\prime(s,v)$ を維持し、辺の削除に対しても正しさを保証する。
• 対数的距離範囲（$d = 2^i$）に跨る複数の距離バウンドを組み合わせ、min-クエリを介してグローバルな近似保証を達成する。
• 距離推定値を制限し誤差蓄積を制御するための関数 $\textsc{bound}_d(x)$ を使用し、$\textbf{dist}^\prime(v) \leq (1+O(\epsilon))\textbf{dist}(s,v)$ を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き無向グラフにおける決定的デタッチメント SSSP アルゴリズムが、$O(mn)$ 未満の総更新時間で達成可能か？
• RQ2 重み付きグラフにおける近似デタッチメント SSSP の近似線形時間アルゴリズムを確率的でなくすることができるか？
• RQ3 階層的クラスタリングとスケーリングをどのように組み合わせ、低コストの更新で辺の削除下でも近似距離を維持できるか？
• RQ4 重み付き無向グラフにおける決定的 $(1+\epsilon)$-近似 SSSP の最小総更新時間は何か？
• RQ5 重み付きグラフの決定的設定において、$O(mn)$ の上限を、すなわち近似的にでも打ち破ることは可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、重み付き無向グラフにおいて、$O(mn)$ の上限を打ち破る決定的結果として、$ ilde{O}(n^2 \log W)$ の総更新時間に到達した。
• 定数時間のクエリで $(1+\epsilon)$-近似距離を維持し、正しさと効率性を保証している。
• 高重量の辺の寄与を低減し、レベル間での誤差蓄積を制限する、新規のスケーリングとクラスタリングフレームワークを用いている。
• 総更新時間は $\tilde{O}(m \log^2 n \log(nW) + n^2 \log n \log(nW) \epsilon^{-2})$ であり、$n$ に関してほぼ二次的で、$W$ に関しては多対数的である。
• 本手法は、重み付きグラフの決定的設定において、準二次以下の総更新時間に到達する最初のものであり、長年の未解決問題を解決した。
• 複数の距離スケールに跨る距離推定値を、$O(\log(nW))$ の距離範囲に跨る min-merge 策略を用いて維持している。