[論文レビュー] Diffeological Dirac operators and diffeological gluing

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、微分同相幾何学的構造（擬バンドル、擬計量、クリフォード加群、接続など）を微分同相幾何学的枠組みで一般化することで、滑らかでない空間におけるディラク作用素を定義するための微分同相幾何学的フレームワークを提示する。また、特定の整合性条件を満たす場合に限り、微分同相幾何的空間上のディラク作用素を結合するグリッピング手順を確立し、その結果が依然としてディラク作用素の性質を保つことを示した。これにより、特異的かつ多様体でない設定へのアティヤ＝シンガー理論の拡張が達成された。

ABSTRACT

This manuscript attempts to present a way in which the classical construction of the Dirac operator can be carried over to the setting of diffeology. A more specific aim is to describe a procedure for gluing together two usual Dirac operators and to explain in what sense the result is again a Dirac operator. Since versions of cut-and-paste (surgery) operations have already appeared in the context of Atiyah-Singer theory, we specify that our gluing procedure is designed to lead to spaces that are not smooth manifolds in any ordinary sense, and since much attention has been paid in recent years to Dirac operators on spaces with singularities, we also specify that our approach is more of a piecewise-linear nature (although, hopefully, singular spaces in a more analytic sense will enter the picture sooner or later; but this work is not yet about them). Most of it is devoted to the diffeological versions of the components that go into the standard definition of a Dirac operator as the composition of a Clifford connection with Clifford action by sections of the cotangent bundle; a diffeological Dirac operator is then standardly defined.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体でない微分同相幾何的空間、特に特異的または折れ線的構成から生じる空間へ、古典的ディラク作用素理論を拡張すること。
• 標準的なリーマン計量および接バンドル構造に代わる、擬バンドル、擬計量、クリフォード接続を用いた微分同相幾何的アナログのディラク作用素を定義すること。
• 2つの微分同相幾何的空間上のディラク作用素を結合するための形式的グリッピング手順を定式化し、整合性条件を満たす場合にその結果が有効なディラク作用素の性質を保つことを保証すること。
• 特に非滑らか設定において、接続、計量、微分形式などの幾何的構造がこのグリッピング操作下でどのように変化するかを調査すること。
• 今後の解析的幾何学および数学的物理への応用の基盤を築くために、現在の枠組みにおける未解決問題と制限を特定すること。

提案手法

• 擬計量を備えたベクトルバンドルの一般化として、微分同相幾何的擬バンドルを定義する。
• 微分1形式の擬バンドル $\Lambda^1(X)$ 及びその双対 $ (\Lambda^1(X))^* $ を導入し、古典的設定における余接バンドルおよび接バンドルに代わる構造を提供する。
• 擬計量を $ \Lambda^1(X) $ 上に用いて、微分同相幾何的クリフォード代数バンドルを構成し、クリフォード作用の定義を可能にする。
• 標準的接続の一般化としての微分同相幾何的接続を定義し、微分同相幾何的文脈におけるリーマン・チェビシェフ接続およびクリフォード接続を導く。
• クリフォード作用 $ c $ と、クリフォード加群の擬バンドル上での整合性を持つ接続 $ \nabla^E $ の合成として、微分同相幾何的ディラク作用素を形式的に定義する：$ D = c \circ \nabla^E $。
• 基礎となる集合上での商微分同相幾何学を用いたグリッピング手順を実装し、得られた空間に標準的商微分同相幾何学を割り当て、この操作下での幾何的構造の変換を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの微分同相幾何的空間が微分同相写像によってグリッピングされる場合、その際にディラク作用素の構造が保存される条件は何か？
• RQ2 どの微分同相幾何的ベクトル擬バンドルが擬計量を備え、そのような計量がグリッピング操作によって構成可能か？
• RQ3 擬バンドルの切断空間および微分1形式の空間 $ \Omega^1(X) $ は、グリッピング下で必要な拡張性条件を満たすか？
• RQ4 微分同相幾何的空間上のリーマン・チェビシェフ接続およびクリフォード接続は、グリッピング手順と整合的か？また、いつ一意に定まるか？
• RQ5 グリーブド空間上での擬計量の整合性と、それらから誘導される接続の整合性の関係は何か？

主な発見

• 微分同相幾何的ディラク作用素は、クリフォード作用と、クリフォード加群の擬バンドル上での整合性を持つ接続の合成として定義され、古典的構成を一般化する。
• グリッピング写像が特定の整合性条件（例えば、擬計量および接続データを保存する）を満たす場合、グリッピング手順はディラク作用素の構造を保つ。
• グリーブド空間上の微分同相幾何学は商微分同相幾何学であり、弱いが形式的枠組みには十分であるが、将来的な解析的応用にはやや弱すぎる可能性がある。
• 本稿では、微分同相幾何的空間上でのpartition of unity、擬計量、接続の存在が未解決問題であり、一般の存在定理は確立されていないと指摘している。
• グリッピング下での切断および微分形式の振る舞いは、条件 $ \mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega $ に依存し、これは一般には満たされないため、追加の仮定が必要である。
• いくつかの未解決問題が残っており、特に一般の微分同相幾何的空間上での擬計量および接続の存在、およびグリッピング後の誘導された幾何的構造の整合性に関する問題が中心的である。