[論文レビュー] Linear and multilinear algebra on diffeological vector spaces

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限次元の微分同相ベクトル空間における線型および多重線型代数の基礎的結果を確立し、微分同相双対が標準的ベクトル空間であることを示し、滑らかな直和分解の新しい概念を導入する。主な貢献は、最大自己直交部分空間を用いて定義される特徴的商が微分同相写像に関して不変であることを同定することであり、以前の特徴的部分空間の一意性に関する誤りを解消する。

ABSTRACT

This paper deals with some basic constructions of linear and multilinear algebra on finite-dimensional diffeological vector spaces. We consider the diffeological dual formally checking that the assignment to each space of its dual defines a covariant functor from the category of finite-dimensional diffeological vector spaces to the category of standard (that is, carrying the usual smooth structure) vector spaces. We verify that the diffeological tensor product enjoys the typical properties of the usual tensor product, after which we focus on the so-called smooth direct sum decompositions, a phenomenon exclusive to the diffeological setting. We then consider the so-called pseudo-metrics (diffeological analogues of scalar products), and discuss the consequent decompositions of vector spaces into a smooth direct sum of the maximal isotropic subspace and a characteristic subspace; we show that such a decomposition actually depends only on the choice of the coordinate system. Furthermore, we show that, contrary to what was erroneously claimed (by me) elsewhere, a characteristic subspace is not unique and is not invariant under the diffeomorphisms of the space on itself. The maximal isotropic subspace is on the other hand an invariant of the space itself, and this fact allows to assign to each its well-defined characteristic quotient, obtaining another functor, this time a contravariant one, to the category of standard vector spaces. After discussing the diffeological analogues of isometries, we end with some remarks concerning diffeological algebras and diffeological Clifford algebras. Perhaps a larger than usual part of the paper recalls statements that already appear elsewhere, but when this is the case, we try to accompany them with new proofs and examples.

研究の動機と目的

• 古典的線型および多重線型代数の構成（双対、テンソル積、同型写像など）を微分同相の文脈に拡張すること。
• 有限次元微分同相ベクトル空間の文脈において、滑らかな線型写像およびファンクターの振る舞いを明確にすること。
• 擬計量の特徴的部分空間が一意的かつ不変であるという誤った主張を是正し、正しい不変対象として最大自己直交部分空間を確立すること。
• 特徴的商を標準的ベクトル空間への反変ファンクターとして定義し、基底の選択に依存しないことの研究。
• 微分同相クリフォード代数の構造とその特徴的部分空間との関係を検討すること。

提案手法

• 直接的かつ素朴な証明を用いて、有限次元微分同相ベクトル空間の微分同相双対が標準的ベクトル空間であることを証明する。
• 微分同相テンソル積が結合的、可換的、分配的という標準的性質を満たすことを確立する。
• 両方のベクトル空間およびその滑らかな構造が整合的に分解される滑らかな直和分解の概念を導入する。
• 微分同相ベクトル空間に擬計量を定義し、任意の基底に対して明確に定義された左逆写像を伴う自然な双対へのペアリングを示す。
• 特徴的部分空間は基底に依存するが、最大自己直交部分空間は内因的であり、明確に定義された商空間を定義することを示す。
• 微分同相ベクトル空間上のクリフォード代数の構造を分析し、共変クリフォード代数が反変代数から滑らかに部分代数として分離できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元微分同相ベクトル空間の微分同相双対は、標準的な滑らかな構造を備えているか？
• RQ2 古典的多重線型代数の同型写像は、微分同相の文脈で滑らかな写像として実現可能か？
• RQ3 微分同相ベクトル空間上の擬計量の特徴的部分空間は、空間自体によって一意に定まるのか、それとも基底の選択に依存するのか？
• RQ4 擬計量の最大自己直交部分空間は、空間の微分同相写像に関して不変のままであるか？
• RQ5 微分同相クリフォード代数は、それらの標準的対応物とどのように関係しているのか？また、滑らかに分解可能か？

主な発見

• 任意の有限次元微分同相ベクトル空間の微分同相双対は標準的ベクトル空間である。これは、新たな直接的証明により、基礎的結果を確認する。
• 微分同相テンソル積は、結合的、可換的、分配的というすべての標準的代数的性質を満たす。
• 擬計量の最大自己直交部分空間は、空間自体の不変量であり、基底の選択に依存しない。
• 特徴的部分空間は一意的ではなく、微分同相写像に対しても不変ではない。これは、文献における以前の誤りを是正する。
• 最大自己直交部分空間による商として定義される特徴的商は、空間の明確に定義された不変量であり、基底に依存しない標準的ベクトル空間への反変ファンクターを定義する。
• クリフォード代数 $ C\textbackslash{}ell(V,g) $ は滑らかな直和分解を許容し、共変クリフォード代数 $ C\textbackslash{}ell(V^{*},g^{*}) $ が滑らかに部分代数として分離可能である。