[論文レビュー] Differential Twisted K-theory and Applications

Alan L. Carey, Jouko Mickelsson+1 more|ArXiv.org|Aug 23, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、接続および曲率を伴うねじれgerbeに依存する幾何的モデルを備えた微分ねじれK理論の幾何的モデルを導入し、通常の微分K理論を一般化する。幾何的データに依存する微分ねじれチャーン類を定義し、ねじれ設定におけるリーマン・ロッホ定理を確立し、SU(2) や SU(3) のようなコンパクトな単純リー群のねじれK理論を計算する応用を行う。その結果、エータ形式とラインバンドルの次数を用いて torsion クラスを特定する。

ABSTRACT

In this paper, we develop differential twisted K-theory and define a twisted Chern character on twisted K-theory which depends on a choice of connection and curving on the twisting gerbe. We also establish the general Riemann-Roch theorem in twisted K-theory and find some applications in the study of twisted K-theory of compact simple Lie groups.

研究の動機と目的

• ねじれに加えて、ねじれgerbeの接続や曲率といった幾何的データに依存する、洗練されたコhomology理論（微分ねじれK理論）を構築すること。
• 古典的チャーン類を一般化し、トポロジー的および幾何的情報を両方含む、微分ねじれチャーン類を定義すること。
• 微分ねじれK理論 $\check{K}^{ev/odd}(X,\check{\sigma})$ とねじれコhomology $H^{ev/odd}(X,d-H)$ の間の関係を示す、ねじれリーマン・ロッホ定理を確立すること。
• コンパクトな単純リー群、特に SU(2) および SU(3) のねじれK理論群を計算するフレームワークを適用し、エータ形式のような微分不変量を用いて torsion クラスを検出すること。

提案手法

• 局所的自明化と自己共役作用素のスペクトルカットを用いて構築された幾何的サイクルを用いて、微分ねじれK理論 $\check{K}^{ev/odd}(X,\check{\sigma})$ を構成する。
• 微分ねじれチャーン類 $ch_{\check{\sigma}}$ を $\check{K}^{ev/odd}(X,\check{\sigma})$ から $\Omega^{ev/odd}(X,d-H)$ への写像として定義し、命題3.3により選択に依存しないことを保証する。
• 普遍接続を備えた分類空間を用いた普遍モデルにより、微分ねじれチャーン類のグローバル定義を可能にする。
• ファミリーアイテム定理およびスペクトル理論を用いて、SU(3) のねじれ共役類上でのディラック作用素のゼロモードを分析し、それらをラインバンドルおよび表現と関連付ける。
• ゼロモードラインバンドルの次数を $2(2j+1)$ として計算し、$K^1(SU(3),k)$ におけるクラスを決定する。その偶奇は $k$ に依存する。
• SU(2) ⊂ SU(3) 上でのエータ形式の積分により、$2j+1$ を $k$ を法として $\mod k$ で抽出し、$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ におけるクラスを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれgerbe上の接続や曲率といった幾何的データを組み込むことのできる微分ねじれK理論をどのように構築できるか？
• RQ2 微分ねじれチャーン類の正確な形は何か？ そして、ねじれK理論における古典的チャーン類とどのように関係するか？
• RQ3 微分ねじれ設定においてリーマン・ロッホ定理を確立できるか？ すなわち、$\check{K}^{ev/odd}(X,\check{\sigma})$ と $H^{ev/odd}(X,d-H)$ の関係を示せるか？
• RQ4 エータ形式のような微分不変量は、SU(3) のようなコンパクトリー群のねじれK理論における torsion クラスをどのように検出できるか？
• RQ5 $2j+1$ のパラメータは $K^1(SU(3),k)$ におけるクラスを決定する役割を果たすが、そのパラメータはどのように微分的データから回復できるか？

主な発見

• 命題3.3により、局所的自明化やスペクトルカットの選択に依存しない、微分ねじれチャーン類 $ch_{\check{\sigma}}$ が適切に定義されていることが保証されている。
• SU(2) の場合、ねじれ $K^1$ 群は $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ であり、微分チャーン類は $\int_{S^2} c_1(L_j, \nabla_j) \mod k$ を通じてクラスを検出し、$2(2j+1) \mod k$ を得る。
• SU(3) の場合、ゼロモードラインバンドルの次数は $2(2j+1)$ であり、$K^1(SU(3),k)$ におけるクラスは $k$ が偶数のとき偶数、奇数のとき奇数である。
• SU(2) 上での微分形式 $\eta_{[0]}$ の積分により、$\int_{SU(2)} \eta_{[0]} H_0 = -\frac{2(2j+1)}{k} \mod c_G(k)/k$ が得られ、微分的データから $2j+1$ のパラメータが回復される。
• $k$ が偶数の場合、$K^1(SU(3),k) \cong \mathbb{Z}/(k/2)\mathbb{Z}$ であり、$K^0(SU(3))$ とのテンソル積は偶数の要素しか生成しない。これは次数が偶数であることに整合する。
• ねじれ共役類 $M_7 = SU(3)/SO(2)$ は、一般の軌道を支持し、ゼロモードバンドルはラインバンドル $L = SU(3) \times_{2j+1} \mathbb{C}$ として記述可能であり、その表現は文字 $2j+1$ によって決定される。