[論文レビュー] Diffusion-based models for financial markets without martingale measures

Claudio Fontana, Wolfgang J. Runggaldier|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2012

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 48被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、拡散過程としてモデル化された金融市場が、同等の局所マルティンゲール測度（ELMM）が存在しない場合でも、成長最適ポートフォリオ（GOP）をナギュエールとして用いることで、存続可能で完全なままであることを確立している。実世界確率測度下でのGOP割引期待値を用いたオプションの価格付けとヘッジが可能であることを証明し、バブルがある場合やELMMが存在しないモデルにおけるリスク中立的価格付けの代替として強固な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider a general class of diffusion-based models and show that, even in the absence of an Equivalent Local Martingale Measure, the financial market may still be viable, in the sense that strong forms of arbitrage are excluded and portfolio optimisation problems can be meaningfully solved. Relying partly on the recent literature, we provide necessary and sufficient conditions for market viability in terms of the market price of risk process and martingale deflators. Regardless of the existence of a martingale measure, we show that the financial market may still be complete and contingent claims can be valued under the original (real-world) probability measure, provided we use as numeraire the Growth-Optimal Portfolio.

研究の動機と目的

• 同等の局所マルティンゲール測度（ELMM）が存在しない場合でも、強力なアービタージュが存在しない状況で金融市場が存続可能であるための条件を確立すること。
• ELMMが存在しない状況下でも、市場の完全性およびオプション請求権の評価が可能であることを示し、成長最適ポートフォリオ（GOP）をナギュエールとして用いることの有効性を示すこと。
• 実世界確率測度下でGOP割引期待値を用いた、オプション請求権の実世界価格付けフレームワークを提供すること。
• 拡散過程に基づくモデルにおけるベンチマーク・アプローチと確率的ポートフォリオ理論の結果を統合・拡張すること。
• 特に対数効用関数の場合に、効用の差支払価格が実世界価格と一致することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、最小限の技術的仮定の下で、伊藤過程と局所マルティンゲールデフレーターを主な道具として用い、拡散過程に基づく金融モデルのクラスを分析する。
• NFLVRより弱いアービタージュ条件を定義・分析し、特に第一種アービタージュおよび増加的利益の不在に焦点を当てる。
• 成長最適ポートフォリオ（GOP）は、長期的成長を最大化する唯一の戦略として明示的に構築され、ナギュエールポートフォリオを生成することが示される。
• マルティンゲールデフレーターの逆数がGOPの価値過程として特定され、アービタージュ条件とGOP構造との関連が明確化される。
• 特に対数効用関数を用いた、効用最大化と双対性手法を用いて、明示的な価格公式を導出する。
• マルコフ的仮定の下で不完全市場への拡張を試み、GOPのマルコフ性を用いて伊藤の公式によりヘッジ戦略を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同等の局所マルティンゲール測度（ELMM）が存在しない場合でも、金融市場が存続可能で強力なアービタージュが存在しないと言えるか？
• RQ2 ELMMが存在しない状況下でも市場の完全性は達成可能か？ もしそうなら、どのような条件下で？
• RQ3 リスク中立的測度が存在しない状況下でも、実世界確率測度下でオプション請求権を意味的に価格付け・ヘッジできるか？
• RQ4 成長最適ポートフォリオ（GOP）が実世界価格付けとヘッジにおいてナギュエールとして果たす役割は何か？
• RQ5 一般の効用関数について、効用の差支払価格は、GOPナギュエール下での実世界価格と一致するか？

主な発見

• 金融市場が存続可能（第一種アービタージュおよび増加的利益が存在しない）であるための必要十分条件は、リスクプレミアム過程が二乗可積分であることである。
• 成長最適ポートフォリオ（GOP）は存在し、一意的であり、その価値過程はナギュエールポートフォリオとして機能し、実世界価格付けを可能にする。
• ELMMが存在しない状況下でも、オプション請求権は実世界確率測度下でのそのペイオフのGOP割引期待値として評価可能である。
• 対数効用関数の場合、対数効用の差支払価格は実世界価格と一致する：$ p_{\log}(H) = \mathbb{E}\left[\frac{H}{V_T^{\pi^*}}\right] $、これは普遍的な価格公式を提供する。
• GOP割引価値過程は実世界測度下でマルティンゲールであり、その逆数はマルティンゲールデフレーターである。これにより、アービタージュ条件と市場構造との関連が明確化される。
• マルコフ的設定下では、GOPに基づく価格付けとヘッジフレームワークは、GOPのマルコフ性と伊藤の公式を用いて不完全市場へ拡張可能であり、明示的な戦略構築が可能になる。