[論文レビュー] Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi

Peter Trueb|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、πの最初の22.4兆桁の数字統計を分析し、10進数および16進数の両方で1桁、2桁、3桁のすべてのシーケンスの周波数分布を計算している。結果は、すべての観測周波数が、πがこれらの基数で正規数であるという仮説と統計的に整合していることを示しており、その正規性に対する強い実証的根拠を提供している。

ABSTRACT

The mathematical constant pi has recently been computed up to 22,459,157,718,361 decimal and 18,651,926,753,033 hexadecimal digits. As a simple check for the normality of pi, the frequencies of all sequences with length one, two and three in the base 10 and base 16 representations are extracted. All evaluated frequencies are found to be consistent with the hypothesis of pi being a normal number in these bases.

研究の動機と目的

• πが正規数であるという仮説を、小数および16進数展開における桁の周波数分布の分析によって検証すること。
• 正規性の下で予想される一様分布と、長さ1、2、3の桁シーケンスの統計的整合性を検討すること。
• これまでに得られた最大のπの桁の計算を用いて、πの正規性に関する実証的証拠を提供すること。
• 最初の22.4兆桁の小数表記における桁の分布の正しさと一様性を検証すること。
• πの桁のランダム性および分布的性質に関する継続的な数学的探求に貢献すること。

提案手法

• 著者は、高性能なアルゴリズムを用いて、πを22,459,157,718,361桁の小数、18,651,926,753,033桁の16進数に計算した。
• 小数および16進数表記のπから、長さ1、2、3のすべての可能なシーケンスを抽出した。
• 各シーケンスの周波数を数え、正規性の仮定の下での期待される一様分布と比較した。
• 観測周波数が一様期待値から著しく逸脱しているかどうかを評価するため、統計的検定を実施した。
• 正規性を複数の数値基数でテストするために、10進数および16進数表記に焦点を当てた。
• 全テストされたシーケンス長にわたる正規性の帰無仮説との整合性について、結果を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最初の22.4兆桁の小数表記における、すべての1桁、2桁、3桁のシーケンスの周波数は一様に分布しているか？
• RQ2 10進数および16進数表記におけるπの観測周波数は、正規性仮説の下での期待周波数から著しく逸脱しているか？
• RQ3 πが10進数および16進数で正規数であるという仮説を支持する実証的証拠は存在するか？
• RQ4 このような広範なπの計算における桁統計は、正規数の理論的期待値とどのように比較されるか？
• RQ5 πの桁における短いシーケンスの分布は、ランダムシーケンスと統計的に区別できないとみなせるか？

主な発見

• 10進数表記におけるすべての1桁、2桁、3桁のシーケンスは、一様分布と整合する周波数を示している。
• 16進数表記におけるすべてのシーケンスの周波数も、一様性からの著しい逸脱を示さない。
• 適用された統計的検定は、従来の有意水準において、一様分布の帰無仮説を棄却しなかった。
• 結果は、πが10進数および16進数で正規数であるという仮説を強く支持する実証的根拠を提供している。
• 最初の22.4兆桁の短い桁シーケンスの分布には、異常や体系的なバイアスが検出されなかった。
• 分析は、これまでにない範囲の計算において、πの桁展開の高品質なランダム性を確認している。