[論文レビュー] Dimensions of three types of BCH codes over GF(q)

Hao Liu, Cunsheng Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限体 GF(q) 上の3種類の BCH コードの次元を決定する：長さ $ n = q^m - 1 $ の原始 BCH コード、長さ $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $ の射影 BCH コード、および長さ $ n = q^m + 1 $ の BCH コード。$ \delta \leq q^{\lceil m/2 \rceil + 1} $ の範囲で、狭義原始 BCH コードの次元に対する明示的公式を導出し、最小距離に関する既知の結果を拡張し、非狭義および射影ケースに対する新たな次元公式を提供する。これにより、これらの重要な誤り訂正符号の既知のパrameter 組合せが顕著に拡張される。

ABSTRACT

BCH codes have been studied for over fifty years and widely employed in consumer devices, communication systems, and data storage systems. However, the dimension of BCH codes is settled only for a very small number of cases. In this paper, we study the dimensions of BCH codes over finite fields with three types of lengths $n$, namely $n=q^m-1$, $n=(q^m-1)/(q-1)$ and $n=q^m+1$. For narrow-sense primitive BCH codes with designed distance $δ$, we investigate their dimensions for $δ$ in the range $1\le δ\le q^{\lceil\frac{m}{2} ceil+1}$. For non-narrow sense primitive BCH codes, we provide two general formulas on their dimensions and give the dimensions explicitly in some cases. Furthermore, we settle the minimum distances of some primitive BCH codes. We also explore the dimensions of the BCH codes of lengths $n=(q^m-1)/(q-1)$ and $n=q^m+1$ over finite fields.

研究の動機と目的

• 設計距離 $\delta$ の広い範囲について、GF(q) 上の狭義原始 BCH コードの次元を決定すること。
• 一般の公式を導出し、特定のケースを計算することで、非狭義原始 BCH コードの次元に関する既存の結果を拡張すること。
• 長さ $n = (q^m - 1)/(q - 1)$ および $n = q^m + 1$ の BCH コードの次元を、射影的および可逆循環符号を含めて調査すること。
• 既知の理論的上限と構造的解析を用いて、特定の原始 BCH コードの最小距離を決定すること。
• 特に $n = q^m + 1$ および奇数の $m$ の範囲について、これまで研究されていなかったパrameter 範囲の明示的次元公式を提供することで、文献における空白を埋めること。

提案手法

• BCH コードの定義集合を計算するために、$n$ を法とする $q$-巡回部分集合の構造を用いる。次元は、$q$-巡回部分集合の和集合のサイズから導出される。
• 整数の $q$-進展開を用いて、部分集合の代表元としての最小元（コセットリーダー）を特徴づけ、その条件を特定する。
• 公式 $\dim(\mathcal{C}) = n - \left| \bigcup_{a \in [b, b + \delta - 2]} C_a \right| $ を用い、ここで $C_a$ は $a$ を法とする $q$-巡回部分集合である。この公式により次元を計算する。
• 定義区間 $[1, \delta - 1]$ 内の異なる部分集合の数を分析することで、狭義 BCH コードの次元に対する閉形式の式を導出する。
• $q$-巡回部分集合の構造的性質を用いて、特定の整数が部分集合のリーダーであることを証明し、正確な次元計算を可能にする。
• 既知の最小距離の上限（例：BCH の上限 $d \geq \delta$）を用い、代数的解析を拡張することで、特殊な場合における正確な最小距離を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $n = q^m - 1$ の GF(q) 上の狭義原始 BCH コードについて、$\delta \leq q^{\lceil m/2 \rceil + 1}$ の範囲で次元は何か？
• RQ2 非狭義原始 BCH コードの次元を一般化するにはどうすればよく、特定の $\delta$ に対してその明示的次元は何か？
• RQ3 長さ $n = (q^m - 1)/(q - 1)$ および $n = q^m + 1$ の BCH コードについて、さまざまな $\delta$ に対して次元は何か？
• RQ4 どの $\delta$ の値に対して、原始 BCH コードの最小距離を正確に決定できるか？
• RQ5 長さ $n = q^m \pm 1$ を法とする $q$-巡回部分集合において、どの整数がコセットリーダーであるか？ これはコードの次元にどのように影響するか？

主な発見

• 長さ $n = q^m - 1$ の GF(q) 上の狭義原始 BCH コードの次元は、すべての $\delta$ について $1 \leq \delta \leq q^{\lceil m/2 \rceil + 1}$ の範囲で決定され、これにより先行研究が拡張される。
• 偶数の $m \geq 4$ に対して、狭義 BCH コード $\mathcal{C}_{(q^m+1, q, \delta, 1)}$ の次元は、$2 \leq \delta \leq q^{m/2}$ の範囲で $q^m + 1 - 2m(\delta - 1 - \lfloor (\delta - 1)/q \rfloor)$ に等しい。
• 奇数の $m \geq 3$ に対して、$\mathcal{C}_{(q^m+1, q, \delta, 1)}$ の次元は、$\delta \leq q^{(m+1)/2} - q$ か $\delta > q^{(m+1)/2} - q$ に応じて、区分的公式で与えられる。
• 非狭義コード $\mathcal{C}_{(q^m+1, q, \delta+1, 0)}$ の次元は $q^m - 2m(\delta - \lfloor \delta/q \rfloor)$ であり、最小距離は $2\delta$ 以上である。
• 奇数の $m$ に対して、長さ $n = (q^m - 1)/(q - 1)$ の射影 BCH コードについて、特定の $\delta$ に対して次元が明示的に計算され、[7] における先行結果を補完する。
• 本稿では、$n = q^m - 1$ を法とする非ゼロの最小の $a$ が $q^{(m+1)/2} - q + 1$ であることが同定され、これは次元解析に役立つ。