[論文レビュー] Discrete isometry groups of symmetric spaces

Michael Kapovich, Bernhard Leeb|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、高ランクの単純非コンパクト Lie 群における離散部分群のクラス、特に RA（正則反対）および Anosov 部分群を導入し、ランク 1 の凸コメルケート Kleinian 群を一般化する。Anosov 部分群について、幾何的、力学的、粗幾何的特徴づけの同値性を確立し、旗多様体および Finsler 空間のコンパクト化上での適切な不連続性領域を構成することで、局所的対称空間の自然なボーディファイケーションおよびコンパクト化を、角を持つ多様体として得る。

ABSTRACT

This survey is based on a series of lectures that we gave at MSRI in Spring 2015 and on a series of papers, mostly written jointly with Joan Porti. Our goal here is to: 1. Describe a class of discrete subgroups $Γ

研究の動機と目的

• 高ランクの単純非コンパクト Lie 群における離散部分群のクラスを定義し、ランク 1 の凸コメルケート群を一般化すること。
• 力学的性質、粗幾何、漸近的挙動を用いた Anosov 部分群の同値な特徴づけを確立すること。
• 旗多様体および Finsler コンパクト化上での Anosov 部分群の適切な不連続性領域を構成すること。
• 局所的対称空間 $X/\Gamma$ の自然なボーディファイケーションおよびコンパクト化を、角を持つ多様体として開発すること。
• ランク 1 幾何における構造定理を、高ランクへの一般化し、双曲群に関する結果に類似した結果を得ること。

提案手法

• 対称空間 $X = G/K$ における軌道の漸近的幾何から、正則かつ反対的である振る舞いに注目し、RA 部分群を定義する。
• 全旗多様体 $G/B$ 上での力学的条件を用いて Anosov 部分群を特徴づけ、一般化された収束性および無限遠における拡張性を含む。
• Finsler 幾何および $X$ の Finsler コンパクト化を用いて、位相的コンパクト化を定義し、収束力学を研究する。
• 適切な不連続性領域の構成の動機として、Mumford の幾何的不変量理論（GIT）を用いる。
• Finsler ボーディファイケーションおよびオーロイド商からの引き戻しを用いて、$X/\Gamma$ の商に角を持つ多様体構造を構成する。
• Morse 性質の局所から大域への原理を用いて、構造的安定性を証明し、Morse-Schottky 部分群のような例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランクの単純非コンパクト Lie 群における、幾何的に有限および凸コメルケート部分群の自然な一般化とは何か？
• RQ2 Anosov 部分群は、旗多様体上の力学、粗幾何、漸近的埋め込みを用いて、同値に特徴づけられるか？
• RQ3 Anosov 部分群に対して、旗多様体および Finsler コンパクト化上での適切な不連続性領域を構成できるか？
• RQ4 商空間 $X/\Gamma$ は、幾何的に意味のある方法でコンパクト化可能であり、そのときどのような構造をとるか？
• RQ5 ランク 1 幾何における構造定理は、この高ランク離散部分群のクラスへどの程度まで一般化可能か？

主な発見

• Anosov 部分群は、漸近的に埋め込まれていること、RCA 条件、URU 条件、Morse 性、拡張作用という同値な条件によって特徴づけられる。
• Anosov 部分群のクラスには、Morse-Schottky 部分群のような自然な例が含まれており、高ランクへの凸コメルケート群の一般化を果たす。
• Anosov 部分群は、全旗多様体 $G/B$ および $X = G/K$ の Finsler コンパクト化上に適切な不連続性領域を持つ。
• 商 $X/\Gamma$ は、境界を持つ多様体を一般化した、良い実解析的オーロイドとしての角を持つ多様体構造を自然に持つ。
• Finsler ボーディファイケーションによる $X/\Gamma$ のコンパクト化は、群作用の粗幾何および力学と整合性を持つ。
• Morse 性質の局所から大域への原理により、Anosov 部分群の構造的安定性の新しい証明が得られる。